前置知识：定积分解题的一些特殊方法

习题1

比较定积分的大小：

${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\underline{}{\int }_0^1\frac{1}{1+x^4}dx$

解：
\qquad 因为在$[0,1]$上$\frac{1}{1+x^2}\le \frac{1}{1+x^4}$，所以${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\le {\int }_0^1\frac{1}{1+x^4}dx$

习题2

设$I_1={\int }_1^2\ln xdx,I_2={\int }_1^2{\ln }^{2}xdx,I_3={\int }_1^{2}x\ln xdx$，则下列不等式正确的是$()$。

$A.I_3<I_2<I_{1}B.I_1<I_2<I_{3}C.I_2<I_1<I_3{I}_2<I_3<I_1$

解：
\qquad 因为在$[1,2]$上$\ln x-{\ln }^{2}x=\ln x(1-\ln x)>0$

\qquad 所以${\int }_1^2\ln xdx>{\int }_0^1{\ln }^{2}xdx$，即$I_1>I_2$

\qquad 因为在$[1,2]$上$x\ln x-\ln x=\ln x(x-1)>0$

\qquad 所以${\int }_1^{2}x\ln xdx>{\int }_0^1\ln xdx$，即$I_3>I_1$

\qquad 所以$I_2<I_1<I_3$，选$C$

习题3

设$f(x)$在$R$上连续，满足${\int }_0^{1}f(xt)dt=f(x)+x\sin x$，且$f(\frac{\pi }{2})=0$，求当$x\ne 0$时$f(x)$的值。

解：
${\int }_0^{1}f(xt)dt=\frac{1}{x}{\int }_0^{1}f(xt)d(xt)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$

\qquad 于是${\int }_0^{x}f(t)dt=xf(x)+x^2\sin x$

\qquad 两边同时求导得$f(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)+2x\sin x+x^2\cos x$

\qquad 整理得$f^{\prime }(x)=-2\sin x-x\cos x$

\qquad 所以$f(x)=\int (-2\sin x-x\cos x)dx=\cos x-x\sin x+C$

\qquad 将$f(\frac{\pi }{2})=0$代入得$0-\frac{\pi }{2}+C=0$，解得$C=\frac{\pi }{2}$

\qquad 所以$f(x)=\cos x-x\sin x+\frac{\pi }{2}$