1.2 线性方程组解的情况及其判别准则

$\quad$ 回顾一下，上一节中，介绍了求解一般的 $n$ 元线性方程组的矩阵消元法。其一般步骤为：

列出原线性方程组的增广矩阵；
通过不断地对增广矩阵作初等行变换，得到阶梯形矩阵（或进一步地得到简化行阶梯形矩阵）；
根据阶梯形矩阵，即可得知原方程组解的情况。

$\quad$ 在引言一节中，我们已经初步分析过：一般 $n$ 元线性方程组的解至少有 $3$ 种情况：有唯一解；有无穷多解；无解。而上一节中的 例 1 明显是属于 “有唯一解” 的情形。

$\quad$ 下面，再分析两个例题。

例 2：在有理数集内求解线性方程组：

${x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=3\begin{cases} \begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 1 \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} &= 3 \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} &=3 \end{aligned} \end{cases}$

解：使用上一节的矩阵消元法进行求解：

$(1−1111−1−132−2−13)→②+①×(−1)③+①×(−2)(1−11109−2200−13)→②×12③+②×3(1−11100−11000−2)\left(\begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 3 \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{aligned} ② + ① \times (-1) \\ ③ + ① \times (-2) \end{aligned}} \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 9 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{aligned}② \times \frac{1}{2} \\ ③ + ② \times 3 \end{aligned}} \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right)$

$(1−11100−11000−2)⟷{x1−x2+x3=1x3=−10=2\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right) \longleftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 1\\ x_{3} &= -1\\ 0 &= 2 \end{aligned} \end{cases}$

$\quad$ 显然，矛盾无解，从而原线性方程组无解！

例 3：在有理数集内求解线性方程组：

${x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=5\begin{cases} \begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 1 \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} &=3 \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} &= 5 \end{aligned} \end{cases}$

解：

$\quad$ 使用矩阵消元法进行求解：

$(1−1111−1−132−2−15)→②+①×(−1)③+①×(−2)(1−11100−2200−33)→②×12③+②×1(1−11100−110000)\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 5 \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{aligned} ② + ① \times (-1) \\ ③ + ① \times (-2) \end{aligned}} \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \end{matrix}\right) \xrightarrow{\begin{aligned} ② \times \frac{1}{2} \\ ③ + ② \times 1 \end{aligned}} \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$

$(1−11100−110000)⟷{x1−x2+x3=1−x3=1\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \longleftrightarrow \begin{cases} \begin{aligned} x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 1 \\ {-x_{3}} &= 1 \end{aligned} \end{cases}$

$\quad$ 显然，阶梯形方程组有无穷多解，因此原线性方程组有无穷多解。

$\quad$ 可以看到，例 1 有唯一解，例 2 无解，例 3 有无穷多解。

$\quad$ 现在，来大胆地猜测一下：

在有理数集（甚至是实数集、复数集）内， $n$ 元线性方程组的解的情况有且只有 $3$ 种情况：有唯一解；无解；有无穷多解。

$\quad$ 分析下这个猜测，有解的情形从“有唯一解”到 “有无穷多解”，跨度是不是太大了？为什么不做“仅有二解”，“仅有三解”等猜测呢？猜测的依据是什么呢？
$\quad$ 回顾在引言一节中的分析，我们从直线间的关系（重合、平行、相交）中受到启发，作出如上猜测。

利用矩阵的初等行变换，将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形，得到对应的线性方程组。若出现 “ $\ne 0)$ ” 的情况，则原方程组无解。否则，原方程组有解。
线性方程组有解时，若阶梯形矩阵的非零行数目与未知量数目相等，即 $r = n$ ，则原方程组有唯一解；若 $r < n$ ，则原方程组有无穷多解。

$\quad$ 下面，将逐一证实上述猜想。

$\quad$ 严格来说，下面的 定理 1 需要先证明一个命题：任何矩阵都可以经过初等行变换化为阶梯形矩阵以及简化行阶梯形矩阵。

定理 1：在有理数集（或实数集、复数集）内， $n$ 元线性方程组的解有且仅有以下 $3$ 种情况：无解，有唯一解，有无穷多解。

证明：

$\quad$ 一般地，设由 $s$ 个方程构成的 $n$ 元线性方程组的增广矩阵为 $A$ ，并且经过初等行变换，化为阶梯形矩阵 $J$ 。设 $J$ 有 $r$ 个非零行。显然 $\le s$ ， $J$ 有 $n + 1$ 列。

$\quad$ 情形 1： $J$ 对应的阶梯形方程组出现 “ $0 = d$ ” （ $\ne 0$ ）的情况。显然，此时原方程组无解。

$\quad$ 情形 2： $J$ 对应的阶梯形方程组不出现 “ $0 = d$ ” （ $\ne 0$ ）的情况。此时，设 $J$ 的第 $r$ 个主元（即第 $r$ 行的第一个非零元）为 $b_{rt}$ ，显然 $b_{rt}$ 不会处于 $J$ 的第 $n + 1$ 列，因此 $\le n$ . 又因为阶梯形矩阵的列指标随着行指标的增加而严格增加，因此 $\le t \le n$ .

$\quad$ 情形 2.1：若 $r = n$ ，利用初等行变换，将 $J$ 化为简化行阶梯形矩阵 $J^{'}$ ，则 $J^{'}$ 有下形式：

$(10⋯0c101⋯0c2⋮⋮⋮⋮00⋯1cn)\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1} \\ 0 & 1 &\cdots & 0 & c_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{n} \end{matrix}\right)$

显然，此时 $(c1,c2,⋯，cn)(c_{1},c_{2},\cdots，c_{n})$ 即为原线性方程组的唯一解。

$\quad$ 情形 2.2：若 $r < n$ ，利用初等行变换，将 $J$ 化为简化行阶梯形矩阵 $J ’^{'}$ ，则 $J^{''}$ 有下形式：

$(1⋯0⋯00⋯c10⋯1⋯00⋯c2⋮⋮⋮⋮⋮0⋯0⋯10⋯cn⋮⋮⋮⋮⋮)\left(\begin{matrix} 1 &\cdots & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots &c_{1} \\ 0 &\cdots & 1 & \cdots &0 & 0 & \cdots & c_{2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & c_{n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \end{matrix}\right)$

$\quad$ 此时， $J^{''}$ 对应的线性方程组有 $r$ 个主变量 $x1,xj2,⋯,xjrx_{1},x_{j_{2}},\cdots,x_{j_{r}}$ ， $n - r$ 个自由未知量 $xi1,xi2,⋯,xin−rx_{i_{1}},x_{i_{2}},\cdots,x_{i_{n-r}}$ . 将 $J^{''}$ 对应的阶梯形方程组中含有自由未知量的项移至等式右端，并忽略掉所有“ $0 = 0$ ” 的方程，可得以下方程组（显然与原方程组同解）。

${x1=b11xi1+b12xi2+⋯+b1,n−rxin−rxj1=b21xi1+b22xi2+⋯+b2,n−rxin−r⋯⋯xjr=br1xi1+br2xi2+⋯+br,n−rxin−r\begin{cases} x_{1} &= b_{11}x_{i_{1}} + b_{12} x_{i_2} + \cdots + b_{1,n-r}x_{i_{n-r}} \\ x_{j_{1}} &= b_{21} x_{i_{1}} + b_{22} x_{i_{2}} + \cdots + b_{2,n-r} x_{i_{n-r}} \\ &\cdots ~ \cdots\\ x_{j_{r}} &= b_{r1} x_{i_{1}} + b_{r2} x_{i_{2}} + \cdots + b_{r,n-r} x_{i_{n-r}} \end{cases}$

$\quad$ 显然，此时原方程组有无穷多解。

$\quad$ 想一下，如果线性方程组的所有常数项都为 $0$ ，会有怎样的性质？

n 元齐次线性方程组：若 $n$ 元线性方程组的所有常数项均为零，则称该方程组为 n 元齐次线性方程组。

${a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋯as1x1+as2x2+⋯+asnxn=0.\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = 0 \\ \cdots \\ a_{s1} x_{1} + a_{s2} x_{2} + \cdots + a_{sn} x_{n} = 0. \end{cases}$