引子

求解摆球的高度，蓝色线处为最低点

$\cos \theta$函数在这里显得很难求解 ，而且，

但当你采用近似的时候，问题就简单多了

当把约等于号左右两边的式子在图像上画出来后会发现，至少在$\theta =0$附近，两者的图像确实十分接近

那么上式中的二次级数是如何出现的呢？该怎样近似呢？

Why Taylor Series

学习泰勒级数，很大程度上就是为了在某个点附近用多项式函数，去近似其他函数。原因在于多项式比其他函数处理起来要容易的多。多项式函数计算容易，易于求导和积分

函数$cos(x)$的近似

二阶近似

现在先让我们看一看，在$x=0$处，如何使用二次多项式来近似$\cos (x)$

设$P(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2$，若随意选择多项式前的系数，以保证$\cos (x)=P(x)$ ，那么这些系数该是多少呢？

先将$x=0$分别代入$\cos (x)和P(x)$，假定两式相等，则可求得$c_0=1$

而当$x=0$代入$\cos (x)$和$P(x)$，计算得到$c_0=1$后，$c_1和c_2$的值可以随意选取而对等式没有影响，因为$x=0$带入$P(x)$后直接将后面两项的值变成0

如果可以保证当$x=0$时，$\cos (x)和P(x)$不仅函数值相等，斜率也相等的话，那样岂不是更加精确么？否则，稍微偏离一点$x=0$，二者的函数值就会有很大偏差，那么该怎么求呢？——求导，计算斜率：

这里常数$c_1$掌握着我们在$x=0$处对一阶导数（斜率）的近似，所以让$c_1=0$，那么我们的近似函数$P(x)$的导数也变成了0

• $c_0$保证了$P(x)$和$\cos (x)$在$x=0$处的值近似相等，
• $c_1$保证了二者在$x=0$处的斜率近似相等，
• 而剩下的$c_2$可以保证$\cos (x)$和$P(x)$函数的斜率的增长率近似相等，也可以说是曲线的曲率近似相等。

下面我们计算$c_2$，核心在于求解$\cos (x)$和$P(x)$的二阶导数：

计算得到$c_2=-\frac{1}{2}$。下面我们验证一下$P(x)$对$\cos (x)$的近似效果如何：

二阶近似$\cos (x)$总结

这样一来，当你利用这三个给定的系数，让$x$的取值在$0$附近增减时，你近似函数的函数值的变化率（也就是斜率）和近似变化率的变化率（也就是曲率）就可以让$P(x)$尽可能的接近$\cos (x)$函数本身了。

增加阶数近似

我们也可以多添加几项高次项使得$P(x)$对$\cos (x)$函数的近似更精准。比如三次项：

求得$c_3=0$，因此$P(x)=1-1/2x^2$，不仅仅是$\cos (x)$在$x=0$处最佳的二阶近似函数，同时也是最佳的三阶近似函数。

还可以给$P(x)$增加一个四次项，这样在$x=0$处，$P(x)$的图像就更加接近$\cos (x)$的图像了

因此，当我们求解这个物理问题时，牵扯到求一个很小的角度的$\cos (x)$值时候，我们用多项式去近似，求解的$\cos (x)$值基本上丝毫不差了。

继续延伸

• 阶乘的形式是自然而然出现的。你对$x^n$连续取n次求导，多项式求导法则一层套一层，最后就会剩下一个为$1\ast 2\ast 3\ast \ast ...=n!$的常数。所以近似多项式中，第n项的系数并不是高阶导数本身，你需要再除以n个阶乘，来抵消这个效应。
• 其次，当我们往近似多项式中添加更高次项时，低阶的项并不会因此而改变。因此多项式任意n阶的导数在$x=0$的值都由唯一的一个系数控制
  

如果你想用多项式估计一个非零点附近的结果，比如$x=\pi$，那么你换成使用$P(x)$关于$（x-\pi$）而不是$x$的多项式就可以得到相同的效果。

在一点处的各阶导数值的信息，转化成那一点附近函数值的信息

知道了$\cos (x)$的所有高阶导数，其实也就了解了关于$\cos (x)$的许多信息，即便你只关注在$x=0$一个取值

泰勒多项式

经过几个步骤的处理之后，我们得到的$P(x)$多项式，叫做$\cos (x)$的泰勒多项式

泰勒级数的直观理解（假设为时间x和速度y的关系）

• $f(a)$: 表示从时刻a开始，当前的里程表的数值 $f(a)$是多少
• 一次项：拟合匀速运动，速度与时间的乘积
• 二次项：拟合匀加速度运动，比只拟合匀速运动接近$f(a)$值更加精确
• 三次项及以上：加速度也不是常数，用三次项表征加速度的变化率，以此类推到无穷多项

泰勒级数的定义:

在数学上，对于一个在实数或复数$a$邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数 $f(x)$，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$
这里， $n!$表示 $n$的阶乘，而 $f^{(n)}(a)$表示函数$f$在点$a$处的$n$阶导数。如果$a=0$，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

对任意函数近似

更加普遍的，我们需要近似任何函数的时候，都可以对其求导，获取各阶导数和导数在$x=0$的值，$x^n$项对应的系数就应该为$x=0$时函数的n阶导数值 再除以$n！$

• 下面公式中的第一项，$x=0$时，$P(x)$的常数项和被拟合的函数$f(0)$的值相等
• 下一项，也就是一次项，能让两者的斜率相等
• 二次项，能让两者斜率的变化率相等。
• 以此类推，高次项越多，近似拟合就越精准，但是多项式也会变得越来越复杂

如果你想求得不是$x=0$而是$x=a$附近的近似，你就要用$(x-a)$来改写多项式，然后计算在$(x-a)$处$P(x)$的各阶导数值。这样，改变$a$的值，就可以调整多项式函数在哪里近似原始函数了。

至此，泰勒多项式就能试用于所有的情况了。

example $e^x$

泰勒级数的几何意义

待续

其他级数

从其他视频资料中作为补充，请参考【补充资料参考】

几何级数

$\frac{1}{1-x}$的级数展开如下式，注意$x$的取值范围为$0<x<1$

$$f(x)=\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^n$$

• 假设$x=1$，则级数会无线增加，导致无法收敛，变成无穷大

几何级数积分

$-\ln (1-x)$的级数展开如下式，注意$x$的取值范围为$0<x<1$

$$f(x)=-\ln (1-x)=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...+x^n/n$$

• 假设$x=1$，则$f(x)=-\ln (1-x)=\infty$，右边多项式$1+1/2+1/3+1/4+...$。虽然每一项的值是随着n的增加不断减小的，但求和之后的值仍然是趋于无穷的，所以$x=!0$

二项式定理

帕斯卡三角

$(1+x{)}^0=$ $1$
$(1+x{)}^1=$ $1+1x$
$(1+x{)}^2=$ $1+2x+1x^2$
$(1+x{)}^3=$ $1+3x+3x^2+1x^3$
…
$(1+x{)}^p=$
当$(1+x{)}^p$中$p$不等于整数时，比如$p=1/2,-1,\pi$等时，该如何展开？

该问题可以用泰勒级数展开

令$f(x)=(1+x{)}^p$
则：
$$(1+x{)}^p=1+px+\frac{p(p-1)}{2!}{x}^2+\frac{p(p-1)(p-2)}{3!}{x}^3+...$$

所以，二项式定理就是泰勒级数的展开的一个应用

$(1+x{)}^3=$ $1+3x+3x^2+1x^3$ 展开为啥没有三阶以后的项了？

• 由于这个函数最高次幂为3三次，连续求导三次之后，再次求导所有项均为0了，所以后面的高次展开项就没有了。
• 但是，如果$p=1/2,-1,\pi$等时，求导不会使导数为0，则高次项就会持续下去。

引用

本文主要参考下列视频内容，感谢视频作者及翻译的无私奉献！

• 【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集

补充资料参考

• [微积分重点之微分学][MIT][Strang]09_幂级数和欧拉公式

英语

多项式函数：polynomials