一、简介

RSA公开密钥密码体制是一种使用不同的加密密钥与解密密钥，“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。
在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但却不能根据PK计算出SK。

二、缺点

1. 运算速度慢。一般只用于少量数据加密。RSA的速度比对应同样安全级别的对称密码算法要慢1000倍左右。
2. 小指数攻击。
   当公钥e取较小的值，虽然会使加密变得易于实现，速度有所提高，但这样做也是不安全的。最简单的办法就是e和d都取较大的值。
   因为密钥的产生受素数产生技术的限制，所以也有它的局限性。
   （1）密钥的产生受素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；
   （2）分组长度太大，为保证安全性，n至少也要600比特以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，比对称密码算法慢几个数量级；随着大整数素因数分解算法的改进和计算机计算能力的提高，对n的长度在不断增加，不利于实现数据格式的标准化。

三、数论基础

1. 素数

素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

2. 模运算

模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b \ (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 \ (mod 12)。

3. 互质关系

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系，不难得到以下结论：

• 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
• 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
• 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
• 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
• p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
• p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

4. 欧拉函数

请思考以下问题：

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n)的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
$\phi (p^k)=p^k-p^{(}k-1)$
比如 $\phi (8)=\phi (2^3)=2^3-2^2=8-4=4$。
这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^{(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p}(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式：

φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k(1- \frac {1}{p})

可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，
$n=p_1\times p_2$
则
$\phi (n)=\phi (p_1{p}_2)=\phi (p_1)\phi (p_2)$
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，$\phi (56)=\phi (8\times 7)=\phi (8)\times \phi (7)=4\times 6=24。$
这一条的证明要用到“中国剩余定理”，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a < p1)，b与p2互质(b < p2)，c与p1p2互质(c < p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
$$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_r^{k_r}$$
根据第4条的结论，得到

$$\phi (n)=\phi (p_1^{k_1})\phi (p_2^{k_2})\dots \phi (p_r^{k_r})$$

再根据第3条的结论，得到
$$\phi (n)=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_r^{k_r}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots (1-\frac{1}{p_r})$$
也就等于
$$\phi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots (1-\frac{1}{p_r})$$
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：
$$\phi (1323)=\phi (3^3\ast 7^2)=1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7})=756$$

5. 欧拉定理

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是：

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:

$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$$
也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，
$$7^{\varphi (10)}\equiv 1(mod10)$$

已知 φ(10) 等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。
$$7^{4k}\equiv 1(mod10)$$
因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。

欧拉定理有一个特殊情况。

假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ§等于p-1，则欧拉定理可以写成

$$7^{p-1}\equiv 1(modp)$$
这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。

6. 模反元素

还剩下最后一个概念：

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1。

$$ab\equiv 1(modn)$$
这时，b就叫做a的“模反元素”。
比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。
欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。
$$a^{\varphi (n)}=a\ast a^{\varphi (n)-1}\equiv 1(modn)$$
可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。

四、RSA密钥生成步骤

假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？

1. 随机选择两个不相等的质数p和q。

爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）

2. 计算p和q的乘积n。

爱丽丝就把61和53相乘。

n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。

3. 计算n的欧拉函数φ(n)。

n是质数，则 φ(n)=n-1
n = p1 × p2
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
=> φ(n) = (p-1)(q-1)

爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。

4. 随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。

爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）

5. 计算e对于φ(n)的模反元素d。

所谓”模反元素”就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

ed - 1 = kφ(n)

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。(-k = y)

ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120，

17x + 3120y = 1

这个方程可以用“扩展欧几里得算法”(又叫辗转相除法)求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。

至此所有计算完成。

6. 将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。

实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达。

五、RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

p
q
n
φ(n)
e
d

这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？

（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。

可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

“对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

12301866845301177551304949 　　58384962720772853569595334 　　79219732245215172640050726 　　36575187452021997864693899 　　56474942774063845925192557 　　32630345373154826850791702 　　61221429134616704292143116 　　02221240479274737794080665 　　351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积：

33478071698956898786044169
　84821269081770479498371376
　85689124313889828837938780
　02287614711652531743087737
　814467999489
　　　　×
　36746043666799590428244633
　79962795263227915816434308
　76426760322838157396665112
　79233373417143396810270092
　798736308917

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

六、RSA算法的加密和解密

1. 公钥（n,e）加密

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
所谓”加密”，就是算出下式的c：

me ≡ c (mod n)

爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：

65^17 ≡ 2790 (mod 3233)

于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

2. 私钥(n,d)解密

爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

cd ≡ m (mod n)

也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出

2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)

因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

至此，”加密–解密”的整个过程全部完成。

我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种”对称性加密算法”（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

3. 私钥解密证明

证明用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
$$c^d\equiv m(modn)$$
因为，根据加密规则
$$m^e\equiv c(modn)$$
于是，c可以写成下面的形式：
$$\begin{gathered} c+kn+Remainder=m^e+Remainder \\ c=m^e-kn \end{gathered}$$
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
$$(m^e-kn{)}^d\equiv m(modn)$$
观察可知，等式左边的多项式拆开以后，只要是有kn的项都能被n整除，所以可以去掉所有含有kn的项，即等同于求证

$$m^{e}d\equiv m(modn)$$
由于$ed\equiv 1(mod\varphi (n))$
所以$ed=h\varphi (n)+1$
将ed代入：$m^{h\varphi (n)+1}\equiv m(modn)$
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

m与n互质

根据欧拉定理，此时
$$\begin{gathered} m^{\varphi (n)}\equiv 1(modn) \\ {m}^{\varphi (n)}=kn+1 \\ (m^{\varphi (n)}{)}^h=(kn+1{)}^h \end{gathered}$$
由展开相可知，右侧式子除以n余数同样位1，所以可得
$$(m^{\varphi (n)}{)}^h\equiv 1(modn)$$

根据加密规则我们有m < n，所以给等式同时乘m，得到
$$(m^{\varphi (n)}{)}^h\ast m\equiv m(modn)=>m^{h\varphi (n)+1}\equiv m(modn)$$
原式得到证明。

m与n不是互质关系

当m与n不互质时(m < n)，由于n=p * q, 那么 gcd(m,n) = p 或者 gcd(m,n)=q，跟假设的一样

假设 m = k_1 * p 且 已知 m < n

此时，m必然与q互质.

(1)根据费马小定理，当m与q互质时，我们可以得到

$$\begin{gathered} m^{\varphi (q)}\equiv 1(modq) \\ {m}^{q-1}modq=1 \end{gathered}$$

(2)类似之前的式子，我们可以推导出

$$(m^{q-1}{)}^{h(p-1)}modq=1$$

(3)根据之前的式子我们可以进行如下推倒

$$\begin{gathered} (p-1)(q-1)=\varphi (n) \\ ed=h\varphi (n)+1 \\ =>m^{ed-1}modq=1 \end{gathered}$$
(4)改写这个等式到
$$m^{ed-1}=k_{3}q+1$$
两边乘上 m,得到
$$m^{ed}=k_{3}qm+m$$
(5)最后一步
我们之前假设
$$m=k_1\ast p$$
所以，得到
$$\begin{gathered} m^{ed}=k_{3}q{k}_{1}p+m \\ {m}^{ed}=k_1{k}_3\ast (pq)+m \end{gathered}$$
因为 $$n=pq$$
所以 $$m^{ed}=k_1{k}_3\ast n+m$$
也就是 $$m^{ed}\equiv m(modn)$$

原式得证！

七、使用示例

取质数13和7.它们的结果给我们的最大值为91.我们取5为公钥。然后用我们已知的事实7和13是91的因子并且运用拓展欧几里得算法（辗转相除法），我们得到私钥是29。

这些参数 (max:91,pub:5,priv:29) 定义一个充分实用型RSA系统。你能取一个数字并且用它乘以它自己5次来加密它，然后取那个数字并且用它乘以它自己29次然后你得回了原来的数字。所以公钥就是 (91, 5)，私钥就是（91, 29）。

用这些标准来加密信息“CLOUD”。

为了用数字表示这个信息，我们要把字母转换成数字。拉丁字母表的通常代表是UTF-8.每个字母相当于一个数字。

在这次编码下，CLOUD是67,76,79,85,68。每个这些数字小于我们的最大值91，所以我们可以单独地加密它们。让我们开始第一个字母。
$$\begin{gathered} ms{g}^{pub}\equiv c(modmax) \\ 67^5\equiv c(mod91) \\ c=67^{5}mod91 \\ c=58 \end{gathered}$$

这意味着67（或C）的加密值是58.

对每个字母重复这个过程，我们得到加密信息CLOUD变成：58,20,53,50,87

根据公式解密
$$\begin{gathered} c^{priv}\equiv msg(modmax) \\ 58^{29}\equiv msg(mod91) \\ msg=58^{29}mod91 \\ msg=67 \end{gathered}$$

参考文档：
RSA算法原理