大学物理（上）-期末知识点结合习题复习（2）——质点运动学-牛顿运动定律（牛顿第二定律、惯性参考系、物理量的单位和量纲）

news/2024/11/8 6:10:39/

质点运动学

牛顿运动定律知识点

题1(牛顿第二定律)

题目描述

题解

题2 (圆周运动)

题目描述

题解

质点运动学

牛顿运动定律知识点

1.牛顿第一定律

任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。

当 $\overrightarrow{F}=0$ 时， $\overrightarrow{v}=$ 恒矢量

2.惯性参考系

惯性——物体保持其运动状态不变的特性。

如果物体在一参考系中不受其它物体作用，而保持静止或者匀速直线运动，这个参考系就称为惯性参考系。

3.牛顿第二定律

动量为 $\overrightarrow{p}$ 的物体，在合外力 $\overrightarrow{F}(=\sum \overrightarrow{F_{i}})$ 的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的合外力.

$\overrightarrow{F}(t)=\frac{d\overrightarrow{p(t)}}{dt}=\frac{d(m\overrightarrow{v})}{dt}$ ,当 $v\ll c$ 时，m为常量.

故而可以写成： $\overrightarrow{F}(t)=m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m\overrightarrow{a}$

4.牛顿定律的矢量性

$\overrightarrow{F}=ma_x\overrightarrow{i}+ma_y\overrightarrow{j}+ma_z\overrightarrow{k}$

$\left\{\begin{matrix} F_x=ma_x\\ F_y=ma_y\\ F_z=ma_z \end{matrix}\right.$

5.牛顿第三定律

$\overrightarrow{F_{12}}=-\overrightarrow{F_{21}}$ （物体间相互作用规律）

6.物理量的单位

物理量	长度L	质量M	时间T	电流I	热力学温度	物质的量	发光强度
单位名称	米	千克	秒	安培	开尔文	摩尔	坎德拉
符号	m	kg	s	A	K	mol	cd

7.量纲

导出量与基本量之间的关系式。基本量纲：L、M、T。

如：

速度的量纲是 $LT^{-1}$

角速度的量纲是 $T^{-1}$

力的量纲是 $MLT^{-2}$

题1(牛顿第二定律)

题目描述

质量为m的子弹以速率 $v_0$ 竖直射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K，忽略子弹的重力。求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（2）子弹进入沙土的最大深度。

题解

第一问，求速度随时间变化的函数式，我们先受力分析

受到摩擦力的作用，我们定竖直向下为正方向。

由牛顿第二定律得， $ma=-Kv$

变换加速度，有： $m\frac{dv}{dt}=-Kv$

分离变量，整理，并两边同时积分： $\int_{0}^{v}\frac{1}{v}dv=\int_{0}^{t}\frac{K}{m}dt$

解得： $\ln \frac{v}{v_0}=-\frac{K}{m}t$ ,最后整理一下就可以得到速度随时间变化的函数式了： $v=v_0e^{-\frac{K}{m}t}$

第二问，求子弹进入沙土的最大深度，可以利用前面的关系式得到速率与深度的关系。

由第一问知， $m\frac{dv}{dt}=-Kv$

变换一下， $m\frac{dv}{dx}(\frac{dx}{dt})=-Kv$ ,没有影响原式的结果吧，而这里的 $\frac{dx}{dt}$ 就是v。

所以有， $mv\frac{dv}{dx}=-Kv$ .

同样分离变量，两边同时积分： $\int_{v_0}^{0}dv=-\frac{K}{m}\int_{0}^{h}dx$ ,初速度为v0，射入沙土后减为0.

解得： $0-v_0=-\frac{K}{m}h\Rightarrow h=\frac{mv_0}{K}$

题2 (圆周运动)

题目描述

质量为m的质点沿半径为R的圆周按规律 $S=v_0t+\frac{1}{2}bt^2$ ,其中 $S$ 是路程， $t$ 是时间， $v_0,b$ 均为常量。求t时刻作用于质点的切向力和法向力？

题解

由牛二可简单地得出： $F_\tau =ma_\tau ,F_n=ma_n$

接下来就分别求出加速度，

切向： $a_\tau =\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{ds}{dt})=\frac{d^2 }{d x^2}(v_0t+\frac{1}{2}bt^2)=b$

所以t时刻作用于质点的切向力为： $F_\tau =mb$

法向： $a_n=\frac{v^2}{R}=\frac{1}{R}(\frac{ds}{dt})^2=\frac{1}{R}(v_0+bt)^2$

所以t时刻作用于质点的法向力为： $F_n=\frac{m}{R}(v_0+bt)^2$

end

大学物理（上）-期末知识点结合习题复习（2）——质点运动学-牛顿运动定律（牛顿第二定律、惯性参考系、物理量的单位和量纲）

质点运动学

牛顿运动定律知识点

题1(牛顿第二定律)

题目描述

题解

题2 (圆周运动)

题目描述

题解

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