目录
- 1.青蛙过河
- 1.题目描述
- 2.输入格式
- 3.输出格式
- 4.样例输入
- 5.样例输出
- 6.数据范围
- 7.原题链接
- 2.解题思路
- Ac_code
- 1.C++
- 2.Java
1.青蛙过河
1.题目描述
小青蛙住在一条河边, 它想到河对岸的学校去学习。小青蛙打算经过河里 的石头跳到对岸。
河里的石头排成了一条直线, 小青蛙每次跳跃必须落在一块石头或者岸上。 不过, 每块石头有一个高度, 每次小青蛙从一块石头起跳, 这块石头的高度就 会下降 1
, 当石头的高度下降到 0
时小青蛙不能再跳到这块石头上(某次跳跃 后使石头高度下降到 0
是允许的)。
小青蛙一共需要去学校上 xxx 天课, 所以它需要往返 2x2x2x 次。当小青蛙具有 一个跳跃能力 yyy 时, 它能跳不超过 yyy 的距离。
请问小青蛙的跳跃能力至少是多少才能用这些石头上完 xxx 次课。
2.输入格式
输入的第一行包含两个整数 n,xn,xn,x, 分别表示河的宽度和小青蛙需要去学校 的天数。请注意 2x2x2x 才是实际过河的次数。
第二行包含 n−1n−1n−1 个非负整数 H1,H2,⋯,Hn−1H_1,H_2,⋯,H_{n-1}H1,H2,⋯,Hn−1, 其中 Hi>0H_i>0Hi>0表 示在河中与 小青蛙的家相距 iii 的地方有一块高度为 HiH_iHi 的石头,
Hi=0H_i =0Hi=0 表示这个位置没有石头。
3.输出格式
输出一行, 包含一个整数, 表示小青蛙需要的最低跳跃能力。
4.样例输入
5 1
1 0 1 0
5.样例输出
4
6.数据范围
1≤n≤105,1≤x≤109,1≤Hi≤104。1≤n≤10^5 ,1≤x≤10^9,1≤H i ≤10^ 4 。1≤n≤105,1≤x≤109,1≤Hi≤104。
7.原题链接
青蛙过河
2.解题思路
假设青蛙可以按照某条路线SSS从家跳往对岸,路线SSS上所有的石子高度均减1,这个操作等价于“青蛙从对岸按照路线SSS反向跳回家,路线SSS上所有的石子高度均减1”。
这也说明,判断小青蛙能否往返2x2x2x次,等价于判断小青蛙能否从左往右跳重复2x2x2x次。
由题目可以发现,设小青蛙的跳跃能力为yyy,当小青蛙跳跃能力yyy越大,越容易满足“重复2x次”的约束,即求解的yyy存在单调性:
- 当yyy越大时,小青蛙每次可以跳的范围更大,可以跳更少的步数到达对岸,即更容易重复2x2x2x次,当y=ny=ny=n时,无需经过任何石子就可以跳到对岸。
- 当yyy越小时,小青蛙需要使用更多的步数才能到达对岸,更不容易满足“重复2x2x2x次”的约束。
本题最终需要求解的是:恰好满足约束的最小的yyy 答案存在单调性,显然可以用二分答案的算法进行求解,初始区间[l,r]=[1,n][l,r]=[1,n][l,r]=[1,n]:
- 求出区间[l,r][l,r][l,r]的中点midmidmid,mid=(l+r)//2mid=(l+r)//2mid=(l+r)//2
- 判断当小青蛙跳跃能力等于midmidmid时,能否从左往右跳重复2x2x2x次
- 如果可以,则更新ans=midans=midans=mid,调整搜索区间为[l,mid−1][l,mid-1][l,mid−1](求最小值,因此调整右端点)
- 否则,调整搜索区间为[mid+1,r][mid+1,r][mid+1,r]
- 如果l>rl > rl>r,终止循环,否则回到111
二分答案将求解最值问题转换成判定性问题,问题转变成当跳跃能力等于yyy时,判断小青蛙能否从左往右跳2x2x2x次。
小青蛙最开始位于0处,跳跃能力等于yyy,需要重复跳跃2x2x2x次,则首先要求从1−y1-y1−y的石子高度必须大于等于2x2x2x,不然小青蛙迈出的第一步都无法重复2x2x2x次。
这个结论可以推广——“所有长度为yyy的区间中石子高度之和必须大于等于2x2x2x”。
- 如果所有长度为yyy的区间中,石子高度之和等于2x:2x:2x:则存在Hi=Hi+yH_i=H_{i+y}Hi=Hi+y,则只要保证第一步在[1,y][1,y][1,y]中选择一个可以跳跃的石子iii,则后续跳跃只需从当前位置iii跳到i+yi+yi+y即可。这样可以保证重复2x2x2x次;
- 如果所有长度为yyy的区间中,石子高度之和大于2x2x2x:**则可以考虑去除某些石子的高度,从而构造出情况1,此时也是可以保证重复2x2x2x次的;
- 如果可以重复跳跃2x2x2x次,所有区间长度为yyy的区间中石子高度之和大于等于2x2x2x:对于任意区间[i,i+y][i,i+y][i,i+y],每次跳跃必须在区间中落脚。利用反证法,如果不在区间[i,i+y][i,i+y][i,i+y]中落脚,等价于从iii的左边跳到了i+yi+yi+y的右边,此时跳跃长度超过了能力上限yyy,因此不合法。也就是说,每次跳跃对于任意长度等于yyy的区间都落脚1次,重复2x2x2x次则说明该区间石子之和大于等于2x2x2x。
通过上面三点可以证明:“当跳跃能力等于yyy时重复2x2x2x次”等价于“所有区间长度等于yyy的区间石子高度之和大于等于2x2x2x”,利用这个结论进行二分答案的判定即可。
实现过程中事先预处理前缀和,从而可以O(1)O(1)O(1)求解区间和,时间复杂度O(nlogn)O(n\log n)O(nlogn)。
实际上使用双指针,维护区间和始终大于 2x2x2x,得到的最小区间长度则是答案,这样可做到 O(n)O(n)O(n) 的复杂度。
Ac_code
1.C++
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int, int> PII;
#define pb(s) push_back(s);
#define SZ(s) ((int)s.size());
#define ms(s,x) memset(s, x, sizeof(s))
#define all(s) s.begin(),s.end()
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1000000007;
const int N = 200010;LL n, x;
void solve()
{cin >> n >> x;std::vector<LL> s(n + 1);for (int i = 1; i < n; ++i) {cin >> s[i];s[i] += s[i - 1];}//最后一块石头,也就是终点,可以无限跳s[n] = 1e18;int l = 1, r = n;auto check = [&](int g) {for (int i = 0; i + g <= n; ++i) {int r = i + g;if (s[r] - s[i] < 2 * x) return false;}return true;};while (l < r) {int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}cout << r << '\n';
}
int main()
{ios_base :: sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);int t = 1;while (t--){solve();}return 0;
}
2.Java
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);int n=sc.nextInt();long x=sc.nextLong();long []arr=new long[n+1];for (int i=1;i<n;i++){arr[i]=sc.nextLong()+arr[i-1];}arr[n]=100000000000L;int l=0;int ans=0;for (int r=1;r<=n;r++){if (arr[r]-arr[l]>= 2*x){ans=Math.max(ans,r-l);l+=1;}}System.out.println(ans);}
}