这些方法都依赖于我们知道输入和输出，但只是不知道这个映射$f$。很多时候需要计算关于$f$的积分，逐个带点显然太费劲了。

蒙特卡罗抽样方法

假设我们要求积分$h(\theta )={\int }_{E}h(\theta )\pi (\theta |x)d\theta$
其中$\pi (\theta |x)$是某个后验分布
而h很难求出显式表达式，这时候可利用抽样方法对上式子进行近似。
整理一下知道：
$$h={\int }_{E}h(\theta )\pi (\theta |x)d\theta =E_{\theta \sim \pi (\theta |x)}[h(\theta |x)]$$
那么可利用大数定理，当从$\theta \sim \pi (\theta |x)$抽样足够多的$m$，就有：
$$\bar{h}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^{m}h({\theta }_i)={\int }_{E}h(\theta )\pi (\theta |x)d\theta$$
特别的，当$\pi (\theta |x)=1$退化为黎曼积分。

例

特别的，若要求积分$h^{\prime }={\int }_{E}h(\theta )d\theta$，那么可自行构造一个分布，
$$h^{\prime }={\int }_E\frac{h^{\prime }(\theta )}{p(\theta |x)}\cdot p(\theta |x)d\theta$$
此时记$h^{\prime }(\theta )=h(\theta )p(\theta |x)$即可。
于是对于这类例子，从$x\sim p(x)$中采样出n个样本$x_1,x_2,...,x_n$，然后有：
$${\int }_{E}f(x)dx=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^n\frac{f(x_i)}{p(x_i)}$$

蒙特卡罗重要性采样

由于对于一些分布存在严重的拖尾效应或聚集问题。导致采样出来的样本质量很低。
所以可尝试从与后验分布近似的简单分布进行采样。但其实并没有解决问题。

马尔可夫蒙特卡罗方法

事实上很难找与后验分布近似的重要性函数，所以还是不得不从复杂的后验分布采样。
但前面提到，很难直接对其进行采样。但可以通过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布就是该后验分布，从而就实现了从复杂的后验分布中采样，进一步可以计算相关的积分。
特点是太慢了。