二叉树（一）

1.树的概念
2.树的相关概念
3.树的表示
4.树在实际中的运用
5.二叉树概念及结构
6.特殊的二叉树
7.二叉树的性质

🌟🌟hello，各位读者大大们你们好呀🌟🌟
🚀🚀系列专栏：【数据结构的学习】
📝📝本篇内容：树的概念；树的相关概念；树的表示；树在实际中的运用；二叉树概念及结构；特殊二叉树；二叉树的性质
⬆⬆⬆⬆上一篇：Linux进程概念（二）
💖💖作者简介：轩情吖，请多多指教(> •̀֊•́ ) ̖́-

1.树的概念

在这里插入图片描述

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成的一个有层次关系的集合
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M（M>0）个互不相交的集合，其中每一个集合又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或者多个后继
任何一棵树，分解为根和N棵子树（N>=0）
因此树是递归定义的
注意：
①树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
②子树是不相交的
③除了根结点外，每个结点有且只有一个父节点
④一棵N个结点的树有N-1条边

2.树的相关概念

在这里插入图片描述
结点的度：一个结点含有的子树个数称为该结点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I等结点为叶结点
非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G等结点分支结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子节点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根节点称为该结点的子结点；如上图：B是A的子结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6
结点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、L互为堂兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

3.树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

在这里插入图片描述

4.树在实际中的运用

Linux树状目录结构
在这里插入图片描述
我们的windows的文件系统是树林，它分为好几棵树，对应C盘D盘等

5.二叉树概念及结构

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
①为空
②由一个根节点加上两棵别称左子树和右子树组成
在这里插入图片描述
①二叉树不存在度大于2的结点
②二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
③对于任何的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：空树、只有根节点、只有左子树、只有右子树、左子树右子树均存在

6.特殊的二叉树

①满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是2^k-1,则他就是满二叉树
在这里插入图片描述
上图可以清晰地看出，每一层的结点数是2^（层数-1）个
第h层满了，则k层有2^(h-1)个结点
现在我们就可以推出高度为k的满二叉树的总结点数为2^h-1
假设满二叉树有N个结点，高度为h=log(N+1)
②完全二叉树：前N-1层是满的，最后一层可以不满，但是必须从左往右是连续的。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
在这里插入图片描述
假设完全二叉树的高度为h
最多结点：也就是满二叉树2^h-1个结点
最少结点：相等于最后一层的结点数为1个，因此结果为2^(h-1)

7.二叉树的性质

①若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^（i-1）个结点
②若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1个
③对于任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为x，度为2的分支节点个数为y，则有y+1=x
④若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度为h=log（n+1）
⑤对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左到右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有以下的特点：
在这里插入图片描述

若i>0,i位置结点的双亲序号：（i-1）/2=parent；i=0，i为根节点编号，无双亲结点
设n为数组的大小，若2i+1<n,左孩子序号：2i+1=leftchild；2i+1>=n否则无左孩子
设n为数组的大小，若2i+2<n,右孩子序号：2i+2=rightchild；2i+2>=n否则无右孩子