1. 广度优先遍历
1.1 树的广度优先遍历
树的广度优先遍历（Breadth-First Traversal），也称为层次遍历，是一种按层次顺序逐级访问树节点的遍历方式。在广度优先遍历中，先访问树的根节点，然后按照从上到下、从左到右的顺序逐层访问树的节点。
首先将树的根节点入队列，然后循环执行以下操作：出队列一个节点，对该节点进行处理，然后将该节点的所有子节点按顺序入队列。通过不断出队列和入队列的操作，可以按照层次顺序逐级遍历树的节点，直到队列为空。
广度优先遍历保证了在访问某一层节点之前，先访问上一层的所有节点。这种遍历方式通常适用于需要按层次分析树结构的情况，比如求解最短路径、最小生成树等问题。
值得注意的是，广度优先遍历仅适用于无向树或有向无环图。对于有向有环图，由于存在环路，可能导致遍历陷入死循环。
1.2 图的广度优先遍历
图的广度优先遍历（Breadth-First Traversal），也称为宽度优先搜索（BFS），是一种遍历图的算法。在广度优先遍历中，从图中的某个起始节点开始，逐层遍历图的节点，先访问当前节点的所有邻接节点，然后再按顺序访问邻接节点的邻接节点，以此类推，直到遍历完图中所有可达节点。
下面是图的广度优先遍历的代码：
package BFS;import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;/*** 图的广度优先遍历(BFS)* @author wushaopei* @create 2023-06-05 10:04*/
public class GraphBFS {private Graph G; // 图对象private boolean[] visited; // 记录顶点是否访问过private List<Integer> order; // 记录顶点的遍历顺序public GraphBFS(Graph G) {this.G = G;visited = new boolean[G.V()];order = new ArrayList<>(G.V());for (int v = 0; v < G.V(); v++) {if (!visited[v]) {bfs(v); // 对未访问过的顶点进行BFS}}}private void bfs(int s) {Queue<Integer> queue = new LinkedList<>(); // 创建队列用于存储待访问顶点queue.add(s); // 将起始顶点入队visited[s] = true; // 标记起始顶点为已访问while (!queue.isEmpty()) { // 当队列不为空时，继续遍历int v = queue.remove(); // 出队一个顶点vorder.add(v); // 将v添加到遍历顺序中for (int w : G.adj(v)) { // 遍历v的邻接顶点wif (!visited[w]) { // 如果w未被访问过visited[w] = true; // 标记w为已访问order.add(w); // 将w入队}}}}public Iterable<Integer> order() {return order; // 返回顶点的遍历顺序}public static void main(String[] args) {Graph graph = new Graph("cc.txt");GraphBFS graphBFS = new GraphBFS(graph);System.out.println(graphBFS.order());}
}
在上述代码中，使用了一个队列来辅助实现广度优先遍历。首先将起始节点入队列，然后循环执行以下操作：出队列一个节点，对该节点进行处理，并将其标记为已访问，然后将该节点的未访问过的邻接节点按顺序入队列。通过不断出队列和入队列的操作，可以按照广度优先的顺序遍历图中的节点。
广度优先遍历的特点是从起始节点开始逐层向外扩展，先访问离起始节点最近的节点，再访问稍远的节点，直到遍历到图中所有可达节点。这种遍历方式可以用于求解最短路径、连通性问题等。
值得注意的是，在处理图的广度优先遍历时，需要使用额外的数据结构来记录已访问的节点，以防止重复访问和陷入循环。常用的数据结构有集合（Set）或标记数组等。
2. 路径问题
路径问题
如果两个顶点在同一个联通分量中，那么它们之间一定存在路径。联通分量是指图中的一组顶点，这些顶点之间可以相互连通，通过边进行路径的传递。
单源路径问题是指在给定的图中，找到从单个源顶点到其他所有顶点的路径。下面是使用广度优先搜索（DFS）来解决单源路径问题的步骤：
package BFS;/*** @author wushaopei* @create 2023-06-05 10:35*/
import java.util.*;/*** 图的广度优先遍历(BFS)* @author wushaopei* @create 2023-06-05 10:04*/
/*** 图的单源路径问题，使用广度优先遍历(BFS)求解*/
public class SingleSourcePath {private Graph G; // 图对象private boolean[] visited; // 记录顶点是否访问过private int s; // 源顶点private int[] pre; // 记录顶点在路径中的前一个顶点public SingleSourcePath(Graph G, int s) {this.G = G;this.s = s;visited = new boolean[G.V()]; // 初始化visited数组，默认所有顶点未访问pre = new int[G.V()]; // 初始化pre数组，默认所有顶点前一个顶点为-1for (int v = 0; v < G.V(); v++) {pre[v] = -1;}bfs(s); // 从源顶点s开始进行BFS遍历}private void bfs(int s) {Queue<Integer> queue = new LinkedList<>(); // 创建队列用于存储待访问顶点queue.add(s); // 将源顶点s入队visited[s] = true; // 标记源顶点s为已访问while (!queue.isEmpty()) { // 当队列不为空时，继续遍历int v = queue.poll(); // 出队一个顶点vfor (int w : G.adj(v)) { // 遍历顶点v的邻接顶点wif (!visited[w]) { // 如果w未被访问过queue.add(w); // 将w入队visited[w] = true; // 标记w为已访问pre[w] = v; // 设置w在路径中的前一个顶点为v}}}}public boolean isConnectedTo(int t) {G.validateVertex(t); // 验证目标顶点t是否合法return visited[t]; // 返回目标顶点t是否与源顶点s相连}public Iterable<Integer> path(int t) {List<Integer> res = new ArrayList<>();if (!isConnectedTo(t)) return res; // 若目标顶点t与源顶点s不相连，则返回空路径int cur = t;while (cur != s) {res.add(cur); // 将当前顶点加入路径中cur = pre[cur]; // 更新当前顶点为其前一个顶点}res.add(s); // 将源顶点s加入路径中Collections.reverse(res); // 反转路径列表，得到从源顶点s到目标顶点t的路径return res; // 返回路径列表}public static void main(String[] args) {Graph graph = new Graph("cc.txt");SingleSourcePath singleSourcePath = new SingleSourcePath(graph, 0);System.out.println(singleSourcePath.path(6)); // 打印从源顶点0到顶点6的路径}
}
通过广度优先遍历算法，从源顶点s开始逐层遍历图中的顶点，通过队列的先进先出特性，保证了路径的最短性。在遍历过程中，记录每个顶点的前驱顶点，最终可以通过回溯路径找到从源顶点到目标顶点的路径。
3. 深度优先遍历与广度优先遍历对比
深度优先遍历：
- 从顶点0开始，递归地深度优先遍历子顶点。
- 遍历路径为0->1->3->2->6。
- 当到达顶点1时，发现顶点3已经被访问过，因此回溯到顶点1的父节点0。
- 继续遍历顶点2，然后到达顶点6。
- 最终，遍历了顶点0、1、3、2、6。
广度优先遍历：
- 从顶点0开始，通过队列进行广度优先遍历。
- 遍历路径为0->1->2->3->4->6。
- 首先遍历顶点0，然后遍历子顶点1和2。
- 在遍历顶点1时，遍历其子顶点3和4。
- 在遍历顶点2时，由于顶点3已经被访问过，因此跳过它。
- 最后，遍历顶点4和6。
- 最终，遍历了顶点0、1、2、3、4、6。
路径比较：
- 深度优先遍历的路径为0->1->3->2->6，包含了顶点0、1、3、2、6，共计5个顶点。
- 广度优先遍历的路径为0->2->6，包含了顶点0、2、6，共计3个顶点。
综上所述，广度优先遍历具有以下优势：
- 广度优先遍历是一种最短路径算法，可以找到从起始顶点到目标顶点的最短路径。
- 在示例中，广度优先遍历找到了从顶点0到顶点6的最短路径，而深度优先遍历的路径长度更长。
- 广度优先遍历通过逐层遍历子顶点，可以保证找到的路径是最短的。
4. 最短路径长度
package BFS;/*** @author wushaopei* @create 2023-06-05 10:35*/
import java.util.*;/*** 图的广度优先遍历(BFS)* @author wushaopei* @create 2023-06-05 10:04*//*** 图的单源路径问题，使用广度优先遍历(BFS)求解*/
public class USSSPath {private Graph G; // 图对象private boolean[] visited; // 记录顶点是否访问过private int s; // 源顶点private int[] pre; // 记录顶点在路径中的前一个顶点private int[] dis;public USSSPath(Graph G, int s) {this.G = G;this.s = s;visited = new boolean[G.V()]; // 初始化visited数组，默认所有顶点未访问pre = new int[G.V()]; // 初始化pre数组，默认所有顶点前一个顶点为-1dis = new int[G.V()];for (int v = 0; v < G.V(); v++) {pre[v] = -1;}bfs(s,dis); // 从源顶点s开始进行BFS遍历}private void bfs(int s, int[] dis) {Queue<Integer> queue = new LinkedList<>(); // 创建队列用于存储待访问顶点queue.add(s); // 将源顶点s入队visited[s] = true; // 标记源顶点s为已访问dis[s] = 0;while (!queue.isEmpty()) { // 当队列不为空时，继续遍历int v = queue.poll(); // 出队一个顶点vfor (int w : G.adj(v)) { // 遍历顶点v的邻接顶点wif (!visited[w]) { // 如果w未被访问过queue.add(w); // 将w入队visited[w] = true; // 标记w为已访问pre[w] = v; // 设置w在路径中的前一个顶点为vdis[w] = dis[v] + 1;}}}}public boolean isConnectedTo(int t) {G.validateVertex(t); // 验证目标顶点t是否合法return visited[t]; // 返回目标顶点t是否与源顶点s相连}public Iterable<Integer> path(int t) {List<Integer> res = new ArrayList<>();if (!isConnectedTo(t)) return res; // 若目标顶点t与源顶点s不相连，则返回空路径int cur = t;while (cur != s) {res.add(cur); // 将当前顶点加入路径中cur = pre[cur]; // 更新当前顶点为其前一个顶点}res.add(s); // 将源顶点s加入路径中Collections.reverse(res); // 反转路径列表，得到从源顶点s到目标顶点t的路径return res; // 返回路径列表}public int dis(int s){G.validateVertex(s);return dis[s];}public static void main(String[] args) {Graph graph = new Graph("g.txt");USSSPath usssPath = new USSSPath(graph, 0);System.out.println(usssPath.path(6)); // 打印从源顶点0到顶点6的路径System.out.println(usssPath.dis(3)); // 打印源到顶点的路径长度}
}
该代码实现了使用广度优先遍历求解图的单源路径问题，并提供了打印路径和计算最短距离的功能。在主方法中，通过创建图对象和USSSPath对象，可以对图进行处理并输出结果。
