若对于 $i\le i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$，二维数组 $a$ 满足如下性质：

$$a_{i,j}+a_{i^{\prime },j^{\prime }}\le a_{i,j^{\prime }}+a_{i^{\prime },j}$$

则称数组 $a$ 满足四边形不等式。

若对于 $i\le i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$，二维数组 $a$ 满足如下性质：

$$a_{i^{\prime },j}\le a_{i,j^{\prime }}$$

则称数组 $a$ 满足关于区间包含的单调性。

动态规划中有一种常见的转移方程（一般见于区间 DP）：

fi,j={min⁡i≤k<j{x∣x=wi,j+fi,k+fk+1,j}i<j0i=j∞i>jf_{i,j}=\begin{cases} \min\limits_{i\leq k< j}\{x|x=w_{i,j}+f_{i,k}+f_{k+1,j}\}&i<j\\ 0&i=j\\ \infty&i>j\end{cases}fi,j​=⎩⎨⎧​i≤k<jmin​{x∣x=wi,j​+fi,k​+fk+1,j​}0∞​i<ji=ji>j​

如果这时 $w_{i,j}$ 同时满足四边形不等式和区间包含单调性，则可以使用四边形不等式优化。

推导过程：

首先可以证明二维数组 $f$ 也满足四边形不等式，即

$$f_{i,j}+f_{i^{\prime },j^{\prime }}\le f_{i,j^{\prime }}+f_{i^{\prime },j}$$

分类讨论：

① 若 $i=i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$ ：
$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{i^{\prime },j^{\prime }}& =f_{i^{\prime },j}+f_{i,j^{\prime }}\end{array}$$

② 若 $i<i^{\prime }\le j=j^{\prime }$ ：
$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{i^{\prime },j^{\prime }}& =f_{i,j^{\prime }}+f_{i^{\prime },j}\end{array}$$

③ 若 $i<i^{\prime }=j<j^{\prime }$ ：

原不等式则转换为：
$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{j,j^{\prime }}& \le f_{i,j^{\prime }}+f_{j,j}\end{array}$$

因 $f_{j,j}=0$，又转化为：
$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{j,j^{\prime }}& \le f_{i,j^{\prime }}\end{array}$$

对于所有 $i$，都有：
$$\begin{array}{rl}{f}_{i,i+1}+f_{i+1,i+2}& =w_{i,i+1}+w_{i+1,i+2}+f_{i,i}+f_{i+1,i+1}+f_{i+1,i+1}+f_{i+2,i+2}\\ & =w_{i,i+1}+w_{i+1,i+2}\\ & \le w_{i,i+2}\\ & \le f_{i,i+2}\end{array}$$

设 k=max⁡i≤x≤j{x∣fi,j=wi,j+fi,x+fx+1,j}k=\max\limits_{i\leq x\leq j}\{x|f_{i,j} = w_{i,j} + f_{i,x} + f_{x+1,j}\}k=i≤x≤jmax​{x∣fi,j​=wi,j​+fi,x​+fx+1,j​}。

此时，若 $k\le i^{\prime }=j$

假设 $f_{k+1,j}+f_{i^{\prime }{j}^{\prime }}\le f_{k+1,j^{\prime }}$ 成立，则有

$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{j,j^{\prime }}& \le w_{i,j}+f_{i,k}+f_{k+1,j}+f_{j,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j^{\prime }}+f_{i,k}+f_{k+1,j}+f_{j,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j}+f_{i,k}+f_{k+1,j^{\prime }}\\ & \le f_{i,j^{\prime }}\end{array}$$

若 $k>i^{\prime }=j$

假设 $f_{k+1,j}+f_{i^{\prime }{j}^{\prime }}\le f_{k+1,j^{\prime }}$ 成立，则有

$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{j,j^{\prime }}& \le f_{i,j}+w_{j,j^{\prime }}+f_{j,k}+f_{k+1,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j^{\prime }}+f_{i,j}+f_{i^{\prime },k}+f_{k+1,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j}+f_{i,k}+f_{k+1,j^{\prime }}\\ & \le f_{i,j^{\prime }}\end{array}$$

综述，通过数学归纳法可知：

$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{j,j^{\prime }}& \le f_{i,j^{\prime }}\end{array}$$

④ 若 $i<i^{\prime }<j<j^{\prime }$ ：

设 k1=max⁡i≤x≤j′{x∣fi′,j=wi′,j+fi′,x+fx+1,j}k_1=\max\limits_{i\leq x\leq j'}\{x|f_{i',j} = w_{i',j} + f_{i',x} + f_{x+1,j}\}k1​=i≤x≤j′max​{x∣fi′,j​=wi′,j​+fi′,x​+fx+1,j​}。
设 k2=max⁡i′≤x≤j{x∣fi,j′=wi,j′+fi,x+fx+1,j′}k_2=\max\limits_{i'\leq x\leq j}\{x|f_{i,j'} = w_{i,j'} + f_{i,x} + f_{x+1,j'}\}k2​=i′≤x≤jmax​{x∣fi,j′​=wi,j′​+fi,x​+fx+1,j′​}。

若 $k_1\le k_2$，因为 $i\le k_1\le j^{\prime },i^{\prime }\le k_2\le j$，所以 $i\le k_1\le k_2\le j$。

所以 $i\le k_1\le j,i^{\prime }\le k_2\le j^{\prime }$。

此时，
$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{i^{\prime },j^{\prime }}& \le w_{i,j}+w_{i^{\prime },j^{\prime }}+f_{i,k_2}+f_{k_2+1,j}+f_{i^{\prime },k_1}+f_{k_1+1,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j^{\prime }}+w_{i^{\prime },j}+f_{i,k_2}+f_{k_2+1,j}+f_{i^{\prime },k_1}+f_{k_1+1,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j^{\prime }}+w_{i^{\prime },j}+f_{i,k_2}+f_{i^{\prime },k_1}+f_{k_2+1,j}+f_{k_1+1,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j^{\prime }}+w_{i^{\prime },j}+f_{i,k_2}+f_{i^{\prime },k_1}+f_{k_1+1,j}+f_{k_2+1,j^{\prime }}\\ & \le (w_{i,j^{\prime }}+f_{i,k_2}+f_{k_2+1,j^{\prime }})+(w_{i^{\prime },j}+f_{i^{\prime },k_1}+f_{k_1+1,j})\\ & \le f_{i,j^{\prime }}+f_{i^{\prime },j}\end{array}$$

若 $k_1>k_2$，因为 $i\le k_1\le j^{\prime },i^{\prime }\le k_2\le j$，所以 $i^{\prime }\le k_2<k_1\le j^{\prime }$。

所以 $i^{\prime }\le k_1\le j^{\prime },i\le k_2\le j$。

此时，
$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}+f_{i^{\prime },j^{\prime }}& \le w_{i,j}+w_{i^{\prime },j^{\prime }}+f_{i,k_1}+f_{k_1+1,j}+f_{i^{\prime },k_2}+f_{k_2+1,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j^{\prime }}+w_{i^{\prime },j}+f_{i,k_1}+f_{k_1+1,j}+f_{i^{\prime },k_2}+f_{k_2+1,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j^{\prime }}+w_{i^{\prime },j}+f_{i,k_1}+f_{i^{\prime },k_2}+f_{k_1+1,j}+f_{k_2+1,j^{\prime }}\\ & \le w_{i,j^{\prime }}+w_{i^{\prime },j}+f_{i,k_1}+f_{i^{\prime },k_2}+f_{k_2+1,j}+f_{k_1+1,j^{\prime }}\\ & \le (w_{i,j^{\prime }}+f_{i,k_1}+f_{k_1+1,j^{\prime }})+(w_{i^{\prime },j}+f_{i^{\prime },k_2}+f_{k_2+1,j})\\ & \le f_{i,j^{\prime }}+f_{i^{\prime },j}\end{array}$$

综述，由数学归纳法可知，$f_{i,j}+f_{i^{\prime },j^{\prime }}\le f_{i,j^{\prime }}+f_{i^{\prime },j}$。

根据 ①②③④，得，当 $i\le i^{\prime }\le j\le j^{\prime }$ 时，$f_{i,j}+f_{i^{\prime },j^{\prime }}\le f_{i,j^{\prime }}+f_{i^{\prime },j}$。

假设 ki,j=max⁡i≤x≤j{x∣fi,j=wi,j+fi,x+fx+1,j}k_{i,j} = \max\limits_{i\leq x\leq j}\{x|f_{i,j}=w_{i,j}+f_{i,x}+f_{x+1,j}\}ki,j​=i≤x≤jmax​{x∣fi,j​=wi,j​+fi,x​+fx+1,j​}

则可以推出 $k_{i,j}$ 单调

$$k_{i-1,j}\le k_{i,j}\le k_{i,j+1}$$

证明：

若 $i>j$，

$$k_{i-1,j}=k_{i,j}=k_{i,j+1}=\infty$$

若 $i=j$，

$$\begin{gathered} k_{i,j}=0<\infty =k_{i,j+1} \\ {k}_{i,j}=0<\infty =k_{i+1,j} \end{gathered}$$

若 $i<j$，

我们假设 $f_{i,j,k}=w_{i,j}+f_{i,k}+f_{k+1,j}$。

则 $f_{i,j,k_{i,j}}=f_{i,j}$

对于任意 $k\le k^{\prime }<j$，有

$$f_{k+1,j}+f_{k^{\prime }+1,j+1}\le f_{k+1,j+1}+f_{k^{\prime }+1,j}$$

等式两边增加 $w_{i,j}+f_{i,k}+w_{i,j+1}+f_{i,k^{\prime }}$，得

$$\begin{array}{rl}{w}_{i,j}+f_{i,k}+w_{i,j+1}+f_{i,k^{\prime }}+f_{k+1,j}+f_{k^{\prime }+1,j+1}& \le w_{i,j}+f_{i,k}+w_{i,j+1}+f_{i,k^{\prime }}+f_{k+1,j+1}+f_{k^{\prime }+1,j}\\ w_{i,j}+f_{i,k}+f_{k+1,j}+w_{i,j+1}+f_{i,k^{\prime }}+f_{k^{\prime }+1,j+1}& \le w_{i,j+1}+f_{i,k}+f_{k+1,j+1}+w_{i,j}+f_{i,k^{\prime }}+f_{k^{\prime }+1,j}\\ f_{i,j,k}+f_{i,j+1,k^{\prime }}& \le f_{i,j+1,k}+f_{i,j,k^{\prime }}\\ f_{i,j,k}-f_{i,j,k^{\prime }}& \le f_{i,j+1,k}-f_{i,j+1,k^{\prime }}\end{array}$$

所以，$f_{i,j,k^{\prime }}\le f_{i,j,k}$ 可以推出 $f_{i,j+1,k^{\prime }}\le f_{i,j+1,k}$，即：
$$f_{i,j,k^{\prime }}\le f_{i,j,k}\to f_{i,j+1,k^{\prime }}\le f_{i,j+1,k}$$

对于所有 $k<s_{i,j}$，都有 $f_{i,j,s_{i,j}}=f_{i,j}\le f_{i,j,k}$。

则对于所有 $k<s_{i,j}$，有 $f_{i,j+1,s_{i,j}}\le f_{i,j+1,k}$。

所以 $s_{i,j}\le s_{i,j+1}$

对于任意 $i<k\le k^{\prime }$，有

$$f_{i,k}+f_{i+1,k^{\prime }}\le f_{i,k^{\prime }}+f_{i+1,k}$$

等式两边增加 $w_{i,j}+f_{k+1,j}+w_{i+1,j}+f_{k^{\prime }+1,j}$，得

$$\begin{array}{rl}{w}_{i,j}+f_{k+1,j}+w_{i+1,j}+f_{k^{\prime }+1,j}+f_{i,k}+f_{i+1,k^{\prime }}& \le w_{i,j}+f_{k+1,j}+w_{i+1,j}+f_{k^{\prime }+1,j}+f_{i,k^{\prime }}+f_{i+1,k}\\ w_{i,j}+f_{i,k}+f_{k+1,j}+w_{i+1,j}+f_{i+1,k^{\prime }}+f_{k^{\prime }+1,j}& \le w_{i,j}+f_{i,k^{\prime }}+f_{k^{\prime }+1,j}+w_{i+1,j}+f_{i+1,k}+f_{k+1,j}\\ f_{i,j,k}+f_{i+1,j,k^{\prime }}& \le f_{i,j,k^{\prime }}+f_{i+1,j,k}\\ f_{i,j,k}-f_{i,j,k^{\prime }}& \le f_{i+1,j,k}-f_{i+1,j,k^{\prime }}\end{array}$$

所以，$f_{i,j,k^{\prime }}\le f_{i,j,k}$ 可以推出 $f_{i+1,j,k^{\prime }}\le f_{i+1,j,k}$，即：
$$f_{i,j,k^{\prime }}\le f_{i,j,k}\to f_{i+1,j,k^{\prime }}\le f_{i+1,j,k}$$

对于所有 $k<s_{i,j}$，都有 $f_{i,j,s_{i,j}}=f_{i,j}\le f_{i,j,k}$。

则对于所有 $k<s_{i,j}$，有 $f_{i,j+1,s_{i,j}}\le f_{i+1,j,k}$。

所以 $s_{i,j}\le s_{i+1,j}$

综述，$s_{i-1,j}\le s_{i,j}\le s_{i,j+1}$

所以，$s_{i,j-1}\le s_{i,j}\le s_{i+1,j}$

所以 $f_{i,j}$ 转移方程可以转换为

fi,j={min⁡si,j−1≤k<si+1,j{x∣x=wi,j+fi,k+fk+1,j}i<j0i=j∞i>jf_{i,j}=\begin{cases} \min\limits_{s_{i,j-1}\leq k< s_{i+1,j}}\{x|x=w_{i,j}+f_{i,k}+f_{k+1,j}\}&i<j\\ 0&i=j\\ \infty&i>j\end{cases}fi,j​=⎩⎨⎧​si,j−1​≤k<si+1,j​min​{x∣x=wi,j​+fi,k​+fk+1,j​}0∞​i<ji=ji>j​

我们缩小了 $k$ 的范围，从而缩小的计算量。

最终时间复杂度为 $O(n^2)$（原时间复杂度为 $O(n^3)$）