比较99^100与10099大小

问题点

$$99^{100}是100个99的积；$$
$$100^{99}是99个100的积；$$
$$对于平面加法来说，和均为9900；$$
$$所以这是个x^y与y^x的大小且xy问题;$$

整数拆分类推：

$$12=1+1+....+1-->1^{12}=1;$$
$$12=2+2+...+2-->2^6=64;$$
$$12=3+...+3-->3^4=81;$$
$$12=4+..+4-->4^3=64;$$
$$12=5+5+2-->=50;$$

结论：1) 尽量拆3； 2) 拆2,4不拆1； 3) 比3大得越多，积越小；

证明：

$$N=X+X+X+........+X(n=\frac{N}{X})$$
$$f(x)=x^n=x^{\frac{N}{X}}①$$

1. 求f(x)的最大值：
   两边求对数：$$lnf(x)=ln{x}^{\frac{N}{X}}=N\frac{lnx}{X}$$
   求lnf(x)最大值，求导：
   $$[lnf(x){]}^{\prime }=N(\frac{(1-lnx)}{x^2})$$
2. 当x = e为lnf(x)的最大值，即f(x)的最大值：$$e^{\frac{N}{e}}$$
3. 所以x离e最近的数越大: $$99^{100}>100^{99}$$

进制应用

这个e的证明为二进制的发展奠定了一部分理论基础；
假设你有一定个数的信息表示(比如：指令集个数或地址线个数为100):
那么在总数有限的范围下，如果用这些总线数量来寻址表示更大的范围呢？这就是进制的一种应用；

这里以上述类推的12地址线总数计算为例：

• 如果用4进制可以描述为(4+4+4)：每个段有4个通路，共3段；
• 如果用3进制可以描述为(3+3+3+3)：每个段有3个通路，共4段；
• 如果用2进制可以描述为(2+2+2+2+2+2)：每个段有2个通路，共6段；
  在不考虑实现方案难易程度下,4,3,2进制换成10进制所能表达的范围分别是：64,81,64；
  则说明同一堆有限量，采用3为最优解能排列描述更多的信息；