雷达原理笔记之雷达方程的推导

——南京理工大学许志勇老师的《雷达原理课程》浅析

雷达作用距离跟雷达方程的各个参数关系紧密。雷达作用距离的改善往往需要利用雷达方程的各项影响参数进行改善。

1，基本方程

• 参数列表：

参数	符号
雷达发射机的发射功率为	Pt
目标距离	R
目标的雷达截面积	$\sigma$
发射天线增益	Gt
接收天线增益	Gr
天线的有效接受面积	Ae
电磁波波长	$\lambda$
接收机最小可检测功率	Simin

• 公式推导：

  首先假设，发射天线为无方向性天线，即各向同性。那么空间中任何一点的电磁波功率密度为：
  $$S_0=\frac{P_t}{4\pi R^2}$$
  然后加上天线增益系数G_t：
  $$S_1=\frac{P_t{G}_t}{4\pi R^2}$$
  空间中，被目标截获并产生二次辐射的电磁波功率：
  $$P=\frac{P_t{G}_t\sigma }{4\pi R^2}$$
  被目标二次辐射到空间的电磁波功率密度：
  $$S_2=\frac{P_t{G}_t\sigma }{(4\pi R^2{)}^2}$$
  目标二次辐射的电磁波功率，被雷达接收天线截获得到的功率：
  $$P_r=\frac{P_t{G}_t\sigma }{(4\pi R^2{)}^2}\ast A_e$$
  雷达接收机能检测的回波信号最小功率为S_min，因此应满足的不等式：
  $$P_r=\frac{P_t{G}_t\sigma }{(4\pi R^2{)}^2}\ast A_e\ge S_{imin}$$
  解不等式得到：
  $$R\le (\frac{P_t{G}_t{A}_e\sigma }{{4\pi }^2{S}_{imin}}{)}^{\frac{1}{4}}$$
  进而，最大作用距离R_max：
  $$R_{max}=(\frac{P_t{G}_t{A}_e\sigma }{(4\pi {)}^2{S}_{imin}}{)}^{\frac{1}{4}}$$
  对于脉冲体制雷达，常用收发共用天线，则G_t=G_r$=4\pi A_e/{\lambda }^2$,可得R_max的其他两种形式：
  $$\begin{gathered} R_{max}=(\frac{P_t{G_t}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^3{S}_{imin}}{)}^{\frac{1}{4}} \\ {R}_{max}=(\frac{P_t{A_e}^2\sigma }{4\pi {\lambda }^2{S}_{imin}}{)}^{\frac{1}{4}} \end{gathered}$$

  2，雷达方程的其他形式

  参数	符号
  玻尔兹曼常数	k
  接收机噪声带宽	Bn/Bs
  环境温度（噪声温度）	T0
  接收机噪声系数	F0
  检测因子(未相参积累)	D0
  信号处理增益	Gsp
  损耗衰减因子	L
  相参积累脉冲个数	N
  脉冲宽度	$\tau$
  脉冲雷达发射期间的平均功率	Pt
  信号积累有效总时宽	Ts

  2.1考虑相参积累增益$G_{sp}$

  将S_imin=kT₀B_nF₀D₀代入雷达基本方程，得到：
  $$R_{max}=(\frac{P_t{G_t}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_0{B}_n{F}_0{D}_0}{)}^{\frac{1}{4}}$$
  信号处理后：D₀=D₀/G_sp,信号处理后：
  $$R_{max}=(\frac{P_t{G_t}^2{\lambda }^2\sigma G_{sp}}{(4\pi {)}^{3}k{T}_0{B}_n{F}_0{D}_0}{)}^{\frac{1}{4}}$$

  2.2考虑各种损耗

  $$R_{max}=(\frac{P_t{G_t}^2{\lambda }^2\sigma G_{sp}}{(4\pi {)}^{3}k{T}_0{B}_n{F}_0{D}_{0}L}{)}^{\frac{1}{4}}$$

  2.3用信号能量表示的形式

  $$R_{max}=(\frac{P_t{G_t}^2{\lambda }^2\sigma G_{sp}}{(4\pi {)}^{3}k{T}_0{B}_n{F}_0{D}_{0}L}{)}^{\frac{1}{4}}$$

  根据$G_{sp}=B_s{T}_s$,得到：
  $$R_{max}=(\frac{P_t{G_t}^2{\lambda }^2\sigma B_s{T}_s}{(4\pi {)}^{3}k{T}_0{B}_n{F}_0{D}_{0}L}{)}^{\frac{1}{4}}$$
  $B_S=B_n$,式14可化简为：
  $$R_{max}=(\frac{P_t{G_t}^2{\lambda }^2\sigma T_s}{(4\pi {)}^{3}k{T}_0{F}_0{D}_{0}L}{)}^{\frac{1}{4}}$$
  $E_s=P_t{T}_s$,最终得到能量形式的R_max表达式：
  $$R_{max}=(\frac{E_s{G_t}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_0{F}_0{D}_{0}L}{)}^{\frac{1}{4}}$$

  2.4脉冲体制雷达的雷达方程

  $$R_{max}=(\frac{P_t\tau N{G_t}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_0{F}_0{D}_{0}L}{)}^{\frac{1}{4}}$$

  3，雷达方程对设计的指导意义

  根据不同情况下对应的雷达方程的具体形式，可以对雷达的设计提供指导性的方案。

  1. 提高接收机灵敏度
  2. 降低损耗
  3. 增大信号能量
  4. 降低噪声系数
  5. 提高天线增益
  6. …………

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