证明正定矩阵的充要条件：全部顺序主子式大于0

定理： $f = x^TAx$ 正定的充要条件是 $A$ 的全部顺序主子式大于零。

必要性：即 $f = x^TAx$ 正定 $\Rightarrow$ $A$ 的全部顺序主子式大于零。

首先，由于 $f = x^TAx$ 正定，即对称矩阵 $A$ 是正定矩阵（有人会问为什么 $A$ 是对称矩阵，这是研究二次型的必然要求，将二次多项式转换成 $f = x^TAx$ 的形式的时候，交叉项的系数可以全部是对称的），由于实对称矩阵必可正交对角化，所以矩阵 $A$ 可以表示为：
$Q^T \begin{bmatrix} \lambda_1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&\lambda_2&0 &\cdots& \\ 0 & & && \\ \vdots&&\ddots &\cdots& \\ 0&& &\lambda_n& \end{bmatrix} Q$

所以 $x^TAx = x^TQ^T \wedge Q x$ , 令 $y = Q x$ ， $\lambda_1 y_1^2+\cdots+\lambda_n y_n^2$ ，对任意的 $y = (y_1,...,y_n)$ ，都有 $f$ 大于 0，由于 $Q$ 是正交矩阵，所以 $x= (x_1, ..., x_n)$ 能够铺满整个n维空间，则 $y = Qx = (y_1,...,y_n)$ 也能铺满整个n维空间。所以对任意非零 $y$ 都有 $f > 0$ ，取 $y_i\neq 0，y_j = 0(j\neq i)$ ，能够得到 $\lambda_iy_i^2>0$ ，从而 $\lambda_i>0$ ，即正定矩阵的所有特征值全大于0，自然，行列式的值 $|A|=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n>0$ 。

记 $A_k$ 为矩阵 $A$ 左上角的 $k$ 阶矩阵， $\cdots, n-1$ ，由 $f = x^TAx$ 对任意 $x\neq0$ 成立，取 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_k,0,\cdots,0)$ ，并记 $x'=(x_1, x_2, \cdots, x_k)$ ，则 $x\ ^TAx = x'\ ^TA_k x'>0$ ，我们可以得到 $A_k$ 也是正定矩阵，自然有 $A_k|>0$ 。从而，我们有正定矩阵 $A$ 的顺序主子式全部大于0.

充分性： $A$ 的全部顺序主子式大于零 $\Rightarrow$ $f = x^TAx$ 正定。

对于 1 阶矩阵，任意1 阶矩阵 $A = [a]$ 的行列式为该矩阵的元素值，该矩阵的顺序主子式只有1个，即 $∣ A ∣ = a$ ，该矩阵的行列式大于 0 时，自然有对任意 $x$ ， $x^TAx = a x^2>0$ 。

假设：对任意的 n - 1 阶矩阵，结论“ $A$ 的全部顺序主子式大于零 $\Rightarrow$ $f = x^TAx$ 正定” 成立。

对于 n 阶矩阵，

$\begin{align*} x^TAx &= (x_1,x_2,...,x_n) \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \left( \begin{array}{rrrr} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \\ &= \begin{align*} a_{11}x_1^2 + a_{12}x_1x_2 + a_{13}x_1x_3+\cdots+a_{1n}x_1x_n\\ a_{21}x_2x_1 + a_{22}x_2^2 + a_{23}x_2x_3+\cdots+a_{2n}x_2x_n\\ \vdots \\ a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + a_{n3}x_nx_3+\cdots + a_{nn}x_n^2 \end{align*} \end{align*}$
将 $x^TAX$ 表示为：

$\begin{align*} x^TAx &= \frac{1}{a_{11}} ( a_{11}x_1 + a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^n b_{ij} x_ix_j \end{align*}$

其中， $b_{ij}= a_{ij} - \frac{a_{1i}a_{1j}}{a_{11}}$ ，由于 $A$ 是实对称矩阵，所以 $a_{ij} = a_{ji}$ ，所以 $b_{ji} = a_{ji} - \frac{a_{1j}a_{1i}}{a_{11}} = a_{ij} - \frac{a_{1i}a_{1j}}{a_{11}} =b_{ij}$ .

$\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^n b_{ij} x_ix_j = (x_2, x_3,\cdots,x_n) \begin{bmatrix} b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ b_{32} & b_{33} & \cdots & b_{3n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b_{n2} & b_{n3} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_2\\ x_3\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}$
记 $\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^n b_{ij} x_ix_j = x'^TBx'$ ，则 B 也是实对称矩阵。

记矩阵 $A$ 左上角的 k 阶矩阵为 $A_k,k=2,3,\cdots,n$ ，则
$\begin{align*} |A_k| &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2k}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3k}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & a_{k3} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}\\ & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k}\\ 0 & a_{22}-\frac{a_{12}a_{21}}{a_{11}} & a_{23} -\frac{a_{13}a_{21}}{a_{11}}& \cdots & a_{2k}-\frac{a_{1k}a_{21}}{a_{11}}\\ 0 & a_{32}-\frac{a_{12}a_{31}}{a_{11}} & a_{33} -\frac{a_{13}a_{31}}{a_{11}}& \cdots & a_{3k}-\frac{a_{1k}a_{31}}{a_{11}}\\ \vdots & & & \ddots & \\ 0 & a_{k2}-\frac{a_{12}a_{k1}}{a_{11}} & a_{k3} -\frac{a_{13}a_{k1}}{a_{11}}& \cdots & a_{kk}-\frac{a_{1k}a_{k1}}{a_{11}}\\ \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k}\\ 0 & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2k} \\ 0 & b_{32} & b_{33} & \cdots & b_{3k} \\ \vdots & & & \ddots & \\ 0 & b_{k2} & b_{k3} & \cdots & b_{kk}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\begin{vmatrix} b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2k} \\ b_{32} & b_{33} & \cdots & b_{3k} \\ \vdots & & \ddots & \\ b_{k2} & b_{k3} & \cdots & b_{kk}\\ \end{vmatrix} \\ \end{align*}$
由 $A$ 的全部顺序主子式大于0, 有 $a_{11}>0, |A_k|>0$ ，可得 $|B_k| = \frac{|A_k|}{a_{11}}>0$