线性回归与 softmax

线性回归

线性回归概要

线性回归 （linear regression）在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。它可以追溯到19世纪初。线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量 $\mathbf{x}$ 和因变量 $y$ 之间的关系是线性的，即$y$可以表示为 $\mathbf{x}$ 中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

通常，我们使用 $n$ 来表示数据集中的样本数。对索引为 $i$ 的样本，其输入表示为 ${\mathbf{x}}^{(i)}=[x_1^{(i)},x_2^{(i)}{]}^{\top }$，其对应的标签是 $y^{(i)}$。

线性模型

线性假设是指目标可以表示为特征的加权和，例如：

$$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}=w_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}}\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}+w_{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}}\cdot \mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}+b$$

$w_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}}$ 和 $w_{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}}$ 称为 权重（weight），$b$ 称为 偏置（bias），或称为偏移量（offset）、截距（intercept）。权重决定了每个特征对我们预测值的影响。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重 $\mathbf{w}$ 和偏置 $b$，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含 $d$ 个特征时，我们将预测结果 $\hat{y}$（通常使用 “尖角” 符号表示估计值）表示为：

$$\hat{y}=w_1{x}_1+...+w_d{x}_d+b.$$

将所有特征放到向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$ 中，并将所有权重放到向量 $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^d$ 中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

$$\hat{y}={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b.$$

向量 $\mathbf{x}$ 对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵 $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$ 可以很方便地引用我们整个数据集的 $n$ 个样本。其中，$\mathbf{X}$ 的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合 $\mathbf{X}$ ，预测值 $\hat{\mathbf{y}}\in {\mathbb{R}}^n$ 可以通过矩阵-向量乘法表示为：

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{X}\mathbf{w}+b$$

这个过程中的求和将使用广播机制，给定训练数据特征 $\mathbf{X}$ 和对应的已知标签 $\mathbf{y}$ ，线性回归的目标是找到一组权重向量 $\mathbf{w}$ 和偏置 $b$。当给定从$\mathbf{X}$的同分布中取样的新样本特征时，找到的权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定 $\mathbf{x}$ 预测 $y$ 的最佳模型会是线性的，但我们很难找到一个有$n$个样本的真实数据集，其中对于所有的 $1\le i\le n$， $y^{(i)}$ 完全等于 ${\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b$。无论我们使用什么手段来观察特征 $\mathbf{X}$ 和标签 $\mathbf{y}$ ，都可能会出现少量的观测误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数 能够量化目标的实际值与预测 值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本 $i$ 的预测值为 ${\hat{y}}^{(i)}$，其相应的真实标签为 $y^{(i)}$ 时，平方误差可以定义为以下公式：

$$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{\left({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}\right)}^2.$$

常数$\frac{1}{2}$不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些，表现为当我们对损失函数求导后常数系数为1。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。

由于平方误差函数中的二次方项，估计值 ${\hat{y}}^{(i)}$ 和观测值 $y^{(i)}$ 之间较大的差异将贡献更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集$n$个样本上的损失均值（也等价于求和）。

$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2.$$

在训练模型时，我们希望寻找一组参数 (${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }$)，这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

$${\mathbf{w}}^{\ast },b^{\ast }=*{argmin}_{\mathbf{w},b}L(\mathbf{w},b).$$

解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。首先，我们将偏置 $b$ 合并到参数 $\mathbf{w}$ 中。合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化 $\Vert \mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{w}{\Vert }^2$。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失最小值。将损失关于$\mathbf{w}$的导数设为0，得到解析解（闭合形式）：

$${\mathbf{w}}^{\ast }=({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{y}.$$

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析，但解析解的限制很严格，导致它无法应用在深度学习里。

小批量随机梯度下降

本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量$\mathcal{B}$，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数$\eta$，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（$\partial$ 表示偏导数）：

$$(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{(\mathbf{w},b)}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b).$$

总结一下，算法的步骤如下：

1. 初始化模型参数的值，如随机初始化；
2. 从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

$$\begin{array}{rl}\mathbf{w}& \leftarrow \mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_{\mathbf{w}}{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right),\\ b& \leftarrow b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\partial }_b{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=b-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right).\end{array}$$

公式中的$\mathbf{w}$ 和 $\mathbf{x}$ 都是向量。在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如 $w_1,w_2,\dots ,w_d$）更具可读性。 $|\mathcal{B}|$ 表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。$\eta$ 表示 学习率（learning rate）。在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为$\hat{\mathbf{w}},\hat{b}$。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

用学习到的模型进行预测

给定学习到的线性回归模型 ${\hat{\mathbf{w}}}^{\top }\mathbf{x}+\hat{b}$，现在我们可以通过给定的房屋面积 $x_1$ 和房龄 $x_2$来估计一个未包含在训练数据中的新房屋价格。给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要(我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环)。

import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l

为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑(对向量相加的两种方法)。
我们实例化两个全1的1000维向量。在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量。在另一种方法中，我们将依赖对 $+$ 的调用。

n = 10000
a = torch.ones(n)
b = torch.ones(n)

定义计时器，便于比较‘

class Timer:  #@save"""记录多次运行时间。"""def __init__(self):self.times = []self.start()def start(self):"""启动计时器。"""self.tik = time.time()def stop(self):"""停止计时器并将时间记录在列表中。"""self.times.append(time.time() - self.tik)return self.times[-1]def avg(self):"""返回平均时间。"""return sum(self.times) / len(self.times)def sum(self):"""返回时间总和。"""return sum(self.times)def cumsum(self):"""返回累计时间。"""return np.array(self.times).cumsum().tolist()

基准测试

c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'

或使用重载的 $+$

timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'

方法二要快很多

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正态分布与平方损失

正态分布和线性回归之间的关系很密切。
简单的说，若随机变量 $x$ 具有均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^2$（标准差 $\sigma$），其正态分布概率密度函数如下：
$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{1}{2{\sigma }^2}(x-\mu {)}^2\right)$$

下面进行计算

def normal(x, mu, sigma):p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

就像我们所看到的，改变均值会产生沿 $x$ 轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。

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均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:

$$y={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b+ϵ\text{ where }ϵ\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$$

因此，我们现在可以写出通过给定的$\mathbf{x}$观测到特定$y$的可能性（likelihood）：

$$P(y\mid \mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{1}{2{\sigma }^2}(y-{\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}-b{)}^2\right)$$

现在，根据最大似然估计法，参数 $\mathbf{w}$ 和 $b$ 的最优值是使整个数据集的可能性最大的值：

$$P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}p(y^{(i)}|{\mathbf{x}}^{(i)})$$

根据最大似然估计法选择的估计量称为最大似然估计量 。
虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。
由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为 最小化负对数似然 $-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})$。由此可以得到的数学公式是：

$$-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)+\frac{1}{2{\sigma }^2}{\left(y^{(i)}-{\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}-b\right)}^2$$
现在我们只需要假设$\sigma$是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于 $\mathbf{w}$和$b$。现在第二项除了常数$\frac{1}{{\sigma }^2}$外，其余部分和前面介绍的平方误差损失是一样的。
幸运的是，上面式子的解并不依赖于 $\sigma$。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的最大似然估计。

线性回归的从零开始实现

在这一节中，我们将只使用张量和自动求导。在之后的章节中，我们会充分利用深度学习框架的优势，介绍更简洁的实现方式。

import random
import torch
from d2l import torch as d2l

生成数据集

在下面的代码中，我们生成一个包含1000个样本的数据集，每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。我们的合成数据集是一个矩阵 $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{1000\times 2}$。

你可以将 $ϵ$ 视为捕获特征和标签时的潜在观测误差。在这里我们认为标准假设成立，即 $ϵ$ 服从均值为 $0$ 的正态分布。
为了简化问题，我们将标准差设为 $0.01$ 。下面的代码生成合成数据集。

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save"""生成 y = Xw + b + 噪声。"""X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))y = torch.matmul(X, w) + by += torch.normal(0, 0.01, y.shape)return X, y.reshape((-1, 1))true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)print('features:', features[0], '\nlabel:', labels[0])
# 通过生成第二个特征 `features[:, 1]` 和 `labels` 的散点图，可以直观地观察到两者之间的线性关系。
d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(),labels.detach().numpy(), 1);

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读取数据集

回想一下，训练模型时要对数据集进行遍历，每次抽取一小批量样本，并使用它们来更新我们的模型。由于这个过程是训练机器学习算法的基础，所以有必要定义一个函数，该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。

def data_iter(batch_size, features, labels):num_examples = len(features)indices = list(range(num_examples))# 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序random.shuffle(indices)for i in range(0, num_examples, batch_size):batch_indices = torch.tensor(indices[i:min(i +batch_size, num_examples)])yield features[batch_indices], labels[batch_indices]batch_size = 10for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):print(X, '\n', y)break

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初始化模型参数

在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前，我们需要先有一些参数。
在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重，并将偏置初始化为0。

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

在初始化参数之后，我们的任务是更新这些参数，直到这些参数足够拟合我们的数据。
每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。有了这个梯度，我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。
因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错，所以没有人会手动计算梯度。我们使用 :numref:sec_autograd 中引入的自动微分来计算梯度。

定义参数

接下来，我们必须定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。
回想一下，要计算线性模型的输出，我们只需计算输入特征 $\mathbf{X}$ 和模型权重$\mathbf{w}$的矩阵-向量乘法后加上偏置$b$。注意，上面的$\mathbf{X}\mathbf{w}$ 是一个向量，而$b$是一个标量。广播机制使得当我们用一个向量加一个标量时，标量会被加到向量的每个分量上。

def linreg(X, w, b):  #@save"""线性回归模型。"""return torch.matmul(X, w) + b

定义损失函数

因为要更新模型。需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数。

def squared_loss(y_hat, y):  #@save"""均方损失。"""return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape))**2 / 2

定义优化算法

正如我们在 :numref:sec_linear_regression 中讨论的，线性回归有解析解。然而，这是一本关于深度学习的书，而不是一本关于线性回归的书。
由于这本书介绍的其他模型都没有解析解，下面我们将在这里介绍小批量随机梯度下降的工作示例。

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。
下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每一步更新的大小由学习速率lr决定。
因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size）来归一化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save"""小批量随机梯度下降。"""with torch.no_grad():for param in params:param -= lr * param.grad / batch_sizeparam.grad.zero_()

训练

概括一下，我们将执行以下循环：

1. 初始化参数

2. 重复，直到完成

   计算梯度 $\mathbf{g}\leftarrow {\partial }_{(\mathbf{w},b)}\frac{1}{|\mathcal{B}|}{\sum }_{i\in \mathcal{B}}l({\mathbf{x}}^{(i)},y^{(i)},\mathbf{w},b)$

   更新参数 $(\mathbf{w},b)\leftarrow (\mathbf{w},b)-\eta \mathbf{g}$

在每个迭代周期（epoch）中，我们使用 data_iter 函数遍历整个数据集，并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_lossfor epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):l = loss(net(X, w, b), y)  # `X`和`y`的小批量损失# 因为`l`形状是(`batch_size`, 1)，而不是一个标量。`l`中的所有元素被加到一起，# 并以此计算关于[`w`, `b`]的梯度l.sum().backward()sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数with torch.no_grad():train_l = loss(net(features, w, b), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LG204kOC-1636466983099)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\6.jpg)]

print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-rc3Paho4-1636466983100)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\7.jpg)]

线性回归的简洁实现

生成数据集

首先生成数据集

import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2ltrue_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2ltrue_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

读取数据集

我们可以调用框架中现有的API来读取数据。我们将 features 和 labels 作为API的参数传递，并在实例化数据迭代器对象时指定 batch_size。此外，布尔值 is_train 表示是否希望数据迭代器对象在每个迭代周期内打乱数据。

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save"""构造一个PyTorch数据迭代器。"""dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)
next(iter(data_iter))

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LNQzOfWY-1636466983100)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\8.jpg)]

这里我们使用 iter 构造Python迭代器，并使用 next 从迭代器中获取第一项。

定义模型

对于标准操作，我们可以使用框架的预定义好的层。这使我们只需关注使用哪些层来构造模型，而不必关注层的实现细节。我们首先定义一个模型变量net，它是一个 Sequential 类的实例。 Sequential 类为串联在一起的多个层定义了一个容器。当给定输入数据， Sequential 实例将数据传入到第一层，然后将第一层的输出作为第二层的输入，依此类推。在下面的例子中，我们的模型只包含一个层，因此实际上不需要Sequential。但是由于以后几乎所有的模型都是多层的，在这里使用Sequential会让你熟悉标准的流水线。这一单层被称为 全连接层（fully-connected layer），因为它的每一个输入都通过矩阵-向量乘法连接到它的每个输出。

在 PyTorch 中，全连接层在 Linear 类中定义。值得注意的是，我们将两个参数传递到 nn.Linear 中。第一个指定输入特征形状，第二个指定输出特征形状。

from torch import nn
net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

初始化模型参数

在使用net之前，我们需要初始化模型参数。如在线性回归模型中的权重和偏置。
深度学习框架通常有预定义的方法来初始化参数。
在这里，我们指定每个权重参数应该从均值为0、标准差为0.01的正态分布中随机采样，偏置参数将初始化为零。

正如我们在构造 nn.Linear 时指定输入和输出尺寸一样。现在我们直接访问参数以设定初始值。我们通过 net[0] 选择网络中的第一个图层，然后使用 weight.data 和 bias.data 方法访问参数。然后使用替换方法 normal_ 和 fill_ 来重写参数值。

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)

定义损失函数

计算均方误差使用的是MSELoss类，也称为平方 $L_2$ 范数。默认情况下，它返回所有样本损失的平均值。

loss = nn.MSELoss()

定义优化算法

小批量随机梯度下降算法是一种优化神经网络的标准工具，PyTorch 在 optim 模块中实现了该算法的许多变种。当我们实例化 SGD 实例时，我们要指定优化的参数（可通过 net.parameters() 从我们的模型中获得）以及优化算法所需的超参数字典。小批量随机梯度下降只需要设置 lr值，这里设置为 0.03。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

训练

通过深度学习框架的高级 API 来实现我们的模型只需要相对较少的代码。我们不必单独分配参数、不必定义我们的损失函数，也不必手动实现小批量随机梯度下降。当我们需要更复杂的模型时，高级 API 的优势将大大增加。当我们有了所有的基本组件，训练过程代码与我们从零开始实现时所做的非常相似。

回顾一下：在每个迭代周期里，我们将完整遍历一次数据集（train_data），不停地从中获取一个小批量的输入和相应的标签。对于每一个小批量，我们会进行以下步骤:

1. 通过调用 net(X) 生成预测并计算损失 l（正向传播）。
2. 通过进行反向传播来计算梯度。
3. 通过调用优化器来更新模型参数。

为了更好的衡量训练效果，我们计算每个迭代周期后的损失，并打印它来监控训练过程。

num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter:l = loss(net(X), y)trainer.zero_grad()l.backward()trainer.step()l = loss(net(features), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CGJlgRQH-1636466983101)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\9.jpg)]

比较生成数据集的真实参数和通过有限数据训练获得的模型参数，要访问参数，我们首先从 net 访问所需的层，然后读取该层的权重和偏置。正如在从零开始实现中一样，我们估计得到的参数与生成数据的真实参数非常接近。

w = net[0].weight.data
print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
b = net[0].bias.data
print('b的估计误差：', true_b - b)

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-njOOEwi5-1636466983102)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\10.jpg)]

小结

• 我们可以使用 PyTorch 的高级 API更简洁地实现模型。
• 在 PyTorch 中，data 模块提供了数据处理工具，nn 模块定义了大量的神经网络层和常见损失函数。
• 我们可以通过_ 结尾的方法将参数替换，从而初始化参数。

softmax回归

softmax 综述

事实上，我们经常对分类问题感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：

通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题：

1. 我们只对样本的硬性类别感兴趣，即属于哪个类别；
2. 我们希望得到软性类别，即得到属于每个类别的概率。这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是，即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。

网络结构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。
为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。
每个输出对应于它自己的仿射函数。
在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的$w$），3个标量来表示偏置（带下标的$b$）。
下面我们为每个输入计算三个未归一化的预测（logits）：$o_1$、$o_2$和$o_3$。
$$\begin{array}{rl}{o}_1& =x_1{w}_{11}+x_2{w}_{12}+x_3{w}_{13}+x_4{w}_{14}+b_1,\\ o_2& =x_1{w}_{21}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{23}+x_4{w}_{24}+b_2,\\ o_3& =x_1{w}_{31}+x_2{w}_{32}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{34}+b_3.\end{array}$$

与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出$o_1$、$o_2$和$o_3$取决于所有输入$x_1$、$x_2$、$x_3$和$x_4$，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。
通过向量形式表达为 $\mathbf{o}=\mathbf{W}\mathbf{x}+\mathbf{b}$，这是一种更适合数学和编写代码的形式。我们已经将所有权重放到一个 $3\times 4$ 矩阵中。对于给定数据样本的特征 $\mathbf{x}$，我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置$\mathbf{b}$得到的。

全连接层的参数开销

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。
然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。
具体来说，对于任何具有$d$个输入和$q$个输出的全连接层，参数开销为$\mathcal{O}(dq)$，在实践中可能高得令人望而却步。
幸运的是，将$d$个输入转换为$q$个输出的成本可以减少到$\mathcal{O}(\frac{dq}{n})$，其中超参数$n$可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型。

softmax运算

在这里要采取的主要方法是将模型的输出视作为概率。我们将优化参数以最大化观测数据的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出 ${\hat{y}}_j$ 可以视为属于类 $j$ 的概率。然后我们可以选择具有最大输出值的类别$*{argmax}_j{y}_j$作为我们的预测。例如，如果 ${\hat{y}}_1$、${\hat{y}}_2$ 和 ${\hat{y}}_3$ 分别为 0.1、0.8 和 0.1，那么我们预测的类别是2。

为了将未归一化的预测变换为非负并且总和为1，同时要求模型保持可导。我们首先对每个未归一化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的总和为1，我们再对每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：
$$\hat{\mathbf{y}}=\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathbf{o})\text{其中}{\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$$
容易看出对于所有的 $j$ 总有 $0\le {\hat{y}}_j\le 1$。因此，$\hat{\mathbf{y}}$ 可以视为一个正确的概率分布。softmax 运算不会改变未归一化的预测 $\mathbf{o}$ 之间的顺序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$$*{argmax}_j{\hat{y}}_j=*{argmax}_j{o}_j$$
尽管 softmax 是一个非线性函数，但 softmax 回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax 回归是一个线性模型。

小批量样本的矢量化

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会针对小批量数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本 $\mathbf{X}$ ，其中特征维度（输入数量）为$d$，批量大小为$n$。此外，假设我们在输出中有 $q$ 个类别。那么小批量特征为 $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$ ，权重为 $\mathbf{W}\in {\mathbb{R}}^{d\times q}$，偏置为 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^{1\times q}$。softmax回归的矢量计算表达式为：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{O}& =\mathbf{X}\mathbf{W}+\mathbf{b},\\ \hat{\mathbf{Y}}& =\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathbf{O}).\end{array}$$
相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了 $\mathbf{X}和\mathbf{W}$ 的矩阵-向量乘法。由于 $\mathbf{X}$ 中的每一行代表一个数据样本，所以softmax运算可以按行（rowwise）执行：对于$\mathbf{O}$的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。
在 $\mathbf{X}\mathbf{W}+\mathbf{b}$ 的求和会使用广播，小批量的未归一化预测 $\mathbf{O}$ 和输出概率 $\hat{\mathbf{Y}}$ 都是形状为 $n\times q$ 的矩阵。

损失函数

接下来，我们需要一个损失函数来度量预测概率的效果。我们将依赖最大似然估计，这与我们在为线性回归（中的均方误差目标提供概率证明时遇到的概念完全相同。

对数似然

softmax函数给出了一个向量 $\hat{\mathbf{y}}$，我们可以将其视为给定任意输入 $\mathbf{x}$的每个类的估计条件概率。例如，${\hat{y}}_1$ = $P(y=\text{猫}\mid \mathbf{x})$。假设整个数据集 { X , Y } \{\mathbf{X}, \mathbf{Y}\} {X,Y} 具有 $n$ 个样本，其中索引 $i$ 的样本由特征向量 ${\mathbf{x}}^{(i)}$ 和独热标签向量 ${\mathbf{y}}^{(i)}$ 组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：

$$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)}).$$

根据最大似然估计，我们最大化 $P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：

$$-\log P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n-\log P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)})=\sum _{i=1}^{n}l({\mathbf{y}}^{(i)},{\hat{\mathbf{y}}}^{(i)}),$$

其中，对于任何标签 $\mathbf{y}$ 和模型预测 $\hat{\mathbf{y}}$，损失函数为：

$$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.$$
在本节稍后的内容会讲到， :eqref:eq_l_cross_entropy 中的损失函数通常被称为 交叉熵损失（cross-entropy loss）。由于 $\mathbf{y}$ 是一个长度为 $q$ 的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项 $j$ 都消失了。由于所有 ${\hat{y}}_j$ 都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于 $0$。
因此，如果正确地预测实际标签，即，如果实际标签 $P(\mathbf{y}\mid \mathbf{x})=1$，则损失函数不能进一步最小化。
注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

softmax及其导数

由于softmax和相关的损失函数很常见，因此值得我们更好地理解它的计算方式。将eq_softmax_y_and_o 代入损失 :eqref:eq_l_cross_entropy 中。利用softmax的定义，我们得到：

$$\begin{array}{rl}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})& =-\sum _{j=1}^q{y}_j\log \frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}\\ & =\sum _{j=1}^q{y}_j\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j\\ & =\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j.\end{array}$$

为了更好地理解发生了什么，考虑相对于任何未归一化的预测 $o_j$ 的导数。我们得到：

$${\partial }_{o_j}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}-y_j=\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathbf{o}{)}_j-y_j.$$

换句话说，导数是我们模型分配的概率（由softmax得到）与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值$y$和估计值$\hat{y}$之间的差异。

模型预测和评估

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。在接下来的实验中，我们将使用 准确率 来评估模型的性能。准确率等于正确预测数与预测的总数之间的比率。

• softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。
• softmax回归适用于分类问题。它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。
• 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量。它测量给定模型编码数据所需的比特数。

softmax回归的从零开始实现

我们使用刚刚在 sec_fashion_mnist 中引入的 Fashion-MNIST 数据集，并设置数据迭代器的批量大小为 $256$。

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2lbatch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

和之前线性回归的例子一样，这里的每个样本都将用固定长度的向量表示。原始数据集中的每个样本都是 $28\times 28$ 的图像。在本节中，我们将展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。

在softmax回归中，我们的输出与类别一样多。。因此，权重将构成一个 $784\times 10$ 的矩阵，偏置将构成一个 $1\times 10$ 的行向量。与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重 W，偏置初始化为0。

num_inputs = 784
num_outputs = 10W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

定义softmax操作

在实现softmax回归模型之前，让我们简要地回顾一下sum运算符如何沿着张量中的特定维度工作。

X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)

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softmax 由三个步骤组成：

1. 对每个项求幂（使用exp）；
2. 对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的归一化常数；
3. 将每一行除以其归一化常数，确保结果的和为1。

$$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathbf{X}{)}_{ij}=\frac{\exp ({\mathbf{X}}_{ij})}{{\sum }_k\exp ({\mathbf{X}}_{ik})}.$$

def softmax(X):X_exp = torch.exp(X)partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

正如你所看到的，对于任何随机输入，我们将每个元素变成一个非负数。此外，依据概率原理，每行总和为1。

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1)

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定义模型

在将数据传递到我们的模型之前，我们使用 reshape 函数将每张原始图像展平为向量。

def net(X):return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

定义损失函数

接下来，我们需要实现 sec_softmax 中引入的交叉熵损失函数。这可能是深度学习中最常见的损失函数，因为目前分类问题的数量远远超过回归问题。

y = torch.tensor([0, 2])
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
y_hat[[0, 1], y]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Yv6bpASA-1636466983104)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\13.jpg)]

交叉熵损失函数

def cross_entropy(y_hat, y):return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])cross_entropy(y_hat, y)

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FFGnMb5V-1636466983104)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\14.jpg)]

分类准确率

给定预测概率分布 y_hat，当我们必须输出硬预测（hard prediction）时，我们通常选择预测概率最高的类。当预测与标签分类 y 一致时，它们是正确的。分类准确率即正确预测数量与总预测数量之比。虽然直接优化准确率可能很困难（因为准确率的计算不可导），但准确率通常是我们最关心的性能衡量标准，我们在训练分类器时几乎总是会报告它。

为了计算准确率，我们执行以下操作。首先，如果 y_hat 是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的预测分数。我们使用 argmax 获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。然后我们将预测类别与真实 y 元素进行比较。由于等式运算符 == 对数据类型很敏感，因此我们将 y_hat 的数据类型转换为与 y 的数据类型一致。结果是一个包含 0（错）和 1（对）的张量。进行求和会得到正确预测的数量。

def accuracy(y_hat, y):  #@save"""计算预测正确的数量。"""if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:y_hat = y_hat.argmax(axis=1)cmp = y_hat.type(y.dtype) == yreturn float(cmp.type(y.dtype).sum())

我们将继续使用之前定义的变量 y_hat 和 y 分别作为预测的概率分布和标签。我们可以看到，第一个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.6，索引为2），这与实际标签0不一致。第二个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.5，索引为 2），这与实际标签2一致。因此，这两个样本的分类准确率率为0.5。

accuracy(y_hat, y) / len(y)

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def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save"""计算在指定数据集上模型的精度。"""if isinstance(net, torch.nn.Module):net.eval()  # 将模型设置为评估模式metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数for X, y in data_iter:metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())return metric[0] / metric[1]

这里 Accumulator 是一个实用程序类，用于对多个变量进行累加。
在上面的 evaluate_accuracy 函数中，我们在 Accumulator 实例中创建了 2 个变量，用于分别存储正确预测的数量和预测的总数量。当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

class Accumulator:  #@save"""在`n`个变量上累加。"""def __init__(self, n):self.data = [0.0] * ndef add(self, *args):self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]def reset(self):self.data = [0.0] * len(self.data)def __getitem__(self, idx):return self.data[idx]

由于我们使用随机权重初始化 net 模型，因此该模型的准确率应接近于随机猜测。例如在有10个类别情况下的准确率为0.1。

evaluate_accuracy(net, test_iter)

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-uUXlEuK8-1636466983105)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\16.jpg)]

训练

如果你看过 sec_linear_scratch 中的线性回归实现，softmax回归的训练过程代码应该看起来非常熟悉。在这里，我们重构训练过程的实现以使其可重复使用。首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。请注意，updater 是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。它可以是封装的d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save# 将模型设置为训练模式if isinstance(net, torch.nn.Module):net.train()# 训练损失总和、训练准确度总和、样本数metric = Accumulator(3)for X, y in train_iter:# 计算梯度并更新参数y_hat = net(X)l = loss(y_hat, y)if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):# 使用PyTorch内置的优化器和损失函数updater.zero_grad()l.backward()updater.step()metric.add(float(l) * len(y), accuracy(y_hat, y),y.size().numel())else:# 使用定制的优化器和损失函数l.sum().backward()updater(X.shape[0])metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())# 返回训练损失和训练准确率return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

接下来我们实现一个训练函数，它会在train_iter 访问到的训练数据集上训练一个模型net。该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。在每个迭代周期结束时，利用 test_iter 访问到的测试数据集对模型进行评估。我们将利用 Animator 类来可视化训练进度。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save"""训练模型（定义见第3章）。"""animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])for epoch in range(num_epochs):train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))train_loss, train_acc = train_metricsassert train_loss < 0.5, train_lossassert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_accassert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

作为一个从零开始的实现，我们使用 :numref:sec_linear_scratch 中定义的小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数，设置学习率为0.1。

lr = 0.1
def updater(batch_size):return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

现在，我们训练模型10个迭代周期。请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类准确率。

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-n3zTaKxX-1636466983106)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\17.jpg)]

预测

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save"""预测标签（定义见第3章）。"""for X, y in test_iter:breaktrues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))titles = [true + '\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]d2l.show_images(X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])predict_ch3(net, test_iter)

小结

• 借助 softmax 回归，我们可以训练多分类的模型。
• softmax 回归的训练循环与线性回归中的训练循环非常相似：读取数据、定义模型和损失函数，然后使用优化算法训练模型。正如你很快就会发现的那样，大多数常见的深度学习模型都有类似的训练过程。

softmax 回归的简洁实现

通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现分类模型。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2lbatch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

如我们在 :numref:sec_softmax 所述，[softmax 回归的输出层是一个全连接层]。因此，为了实现我们的模型，我们只需在 Sequential 中添加一个带有10个输出的全连接层。同样，在这里，Sequential 并不是必要的，但我们可能会形成这种习惯。因为在实现深度模型时，Sequential将无处不在。我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状.

net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))def init_weights(m):if type(m) == nn.Linear:nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)net.apply(init_weights);

重新审视 Softmax 的实现

回想一下，softmax 函数 ${\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$，其中${\hat{y}}_j$是预测的概率分布。$o_j$是未归一化的预测$\mathbf{o}$的第$j$个元素。如果$o_k$中的一些数值非常大，那么 $\exp (o_k)$ 可能大于数据类型容许的最大数字（即 上溢（overflow））。这将使分母或分子变为inf（无穷大），我们最后遇到的是0、inf 或 nan（不是数字）的 ${\hat{y}}_j$。在这些情况下，我们不能得到一个明确定义的交叉熵的返回值。

解决这个问题的一个技巧是，在继续softmax计算之前，先从所有$o_k$中减去$\max (o_k)$。你可以证明每个 $o_k$ 按常数进行的移动不会改变softmax的返回值。在减法和归一化步骤之后，可能有些 $o_j$ 具有较大的负值。由于精度受限， $\exp (o_j)$ 将有接近零的值，即 下溢（underflow）。这些值可能会四舍五入为零，使 ${\hat{y}}_j$ 为零，并且使得 $\log ({\hat{y}}_j)$ 的值为 -inf。反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。
通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。如下面的等式所示，我们避免计算$\exp (o_j)$，而可以直接使用$o_j$。因为$\log (\exp (\cdot ))$被抵消了。

$$\begin{array}{rl}\log ({\hat{y}}_j)& =\log \left(\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}\right)\\ & =\log (\exp (o_j))-\log \left(\sum _k\exp (o_k)\right)\\ & =o_j-\log \left(\sum _k\exp (o_k)\right).\end{array}$$

我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。

loss = nn.CrossEntropyLoss()

优化算法

在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

训练

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

和以前一样，这个算法收敛到一个相当高的精度。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LB0Yb4np-1636466983106)(C:\Users\Lunatic\Desktop\深度学习实验报告\实验1\18.jpg)]

小结

• 使用高级 API，我们可以更简洁地实现 softmax 回归。
• 从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。