Z变换(Z-transform)
定义
X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) z − n x ( n ) = 1 2 π j ∮ c X ( z ) z z − 1 d z X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}\\ x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_c X(z)z^{z-1}dz X(z)=n=−∞∑+∞x(n)z−nx(n)=2πj1∮cX(z)zz−1dz
收敛域（Region of Converage)
定义：对任意给定的序列x(n),能够使其的z变换收敛的z值的集合
级数的收敛条件
∑ n = − ∞ + ∞ ∣ x ( n ) z − z ∣ = M < ∞ ， 即 满 足 绝 对 可 和 条 件 \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)z^{-z}|=M<\infty，即满足绝对可和条件 n=−∞∑+∞∣x(n)z−z∣=M<∞，即满足绝对可和条件
级数收敛的判断
达朗贝尔判别法
l i m n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = l , { l < 1 ， 收 敛 l > 1 ， 发 散 l = 1 ， u n c e r t a i n {lim}_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=l,\\ \left\{ \begin{aligned} l < 1，收敛 \\ l > 1， 发散\\ l = 1， uncertain\\ \end{aligned} \right. limn→∞∣anan+1∣=l,⎩⎪⎨⎪⎧l<1，收敛l>1，发散l=1，uncertain
四种典型序列的收敛域
1） 有限长序列，x(n)只在 n 1 ≤ n ≤ n 2 n_1\leq n \leq n_2 n1≤n≤n2有值
{ n 1 ≥ 0 , 0 < ∣ z ∣ ≤ ∞ n 1 < 0 , 0 ≤ ∣ z ∣ < ∞ \begin{cases} n_1 \geq 0, 0< |z|\leq \infty\\ n_1 <0,0 \leq |z|<\infty \end{cases} {n1≥0,0<∣z∣≤∞n1<0,0≤∣z∣<∞
2）右边序列，收敛域在圆外
3）左边序列，收敛域在圆内
4）双边序列，收敛域是圆环
