LA@分块矩阵@初等变换@初等矩阵#逆矩阵计算@初等变换法

分块矩阵

乘法

• 注意对相乘的两个高阶矩阵的划分方法,子矩阵之间要能够相乘

  • $A_{m\times n}{B}_{n\times p}=C_{m\times p}$

    • $m={\sum }_{i=1}^t{m}_i$
    • $n={\sum }_{i=1}^l{n}_i$
    • $p={\sum }_{i=1}^r{p}_i$
    • $A=(A_{ij}{)}_{t\times l}$
    • $B=(B_{ij}{)}_{l\times r}$
    • $C=((AB{)}_{ij}{)}_{t\times r}$
    • $(A_{ij}{)}_{m_i\times n_j},(B_{ij}{)}_{n_i\times p_j}$

  • $C_{ij}={\sum }_{k=1}^l{A}_{ik}{B}_{kj},(i=1,2,\cdots ,t;j=1,2,\cdots ,r)$

逆

• 借助分块乘法,可以将高阶矩阵求逆转为低阶矩阵求逆

例

• n阶矩阵:$D=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right)$,A,B均可逆

  • 待定系数法:$D^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ X_{21}& X_{22}\end{array}\right)$

  • $$D{D}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ X_{21}& X_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{E}_k& 0\\ 0& E_r\end{array}\right)=E_{n=k+r}$$

  • $$\begin{gathered} A{X}_{11}=E_k \\ A{X}_{12}=0 \\ C{X}_{11}+B{X}_{21}=0 \\ C{X}_{12}+B{X}_{22}=E_r \\ 对前两个式子两边左乘A^{-1},得到X_{11}=A^{-1};X_{12}=0 \\ 分别带入第3,4式中,得到: \\ {X}_{21}=-B^{-1}C{A}^{-1} \\ B{X}_{22}=E_r,左乘B^{-1},X_{22}=B^{-1} \\ 得: \\ {D}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right) \end{gathered}$$

  • 特别的,当$C=0$

    • $$\begin{gathered} D=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right) \\ {D}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& B^{-1}\end{array}\right) \end{gathered}$$

  • 类似的:

    • $$\begin{gathered} {\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& B^{-1}\end{array}\right) \\ {\left(\begin{array}{cc}0& A\\ B& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& B^{-1}\\ A^{-1}& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

    • 注意区分行列式中的拉普拉斯展开

准对角矩阵

• $$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& A_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_{nn}\end{array}\right) \\ {A}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}^{-1}& 0& \cdots & 0\\ 0& A_{22}^{-1}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & A_{nn}^{-1}\end{array}\right) \\ 将两个矩阵相乘,容易验证 \end{gathered}$$

转置

• $$\begin{gathered} A_{p\times q}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1q}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{p1}& A_{p2}& \cdots & A_{pq}\end{array}\right) \\ {A}_{q\times p}^T=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}^T& A_{21}^T& \cdots & A_{p1}^T\\ A_{12}^T& A_{22}^T& \cdots & A_{p2}^T\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1q}^T& A_{2q}^T& \cdots & A_{pq}^T\end{array}\right) \end{gathered}$$

矩阵的初等变换🎈

• 初等变换分为行变换和列变换,仅以行变换为例:

  • 交换矩阵的某两行位置$r_i\leftrightarrow r_j$

  • 用一个非零常数k乘以矩阵的某一行$k{r}_i,k\ne 0$

  • 将矩阵的某一行乘以非零常数k后加到另一行:$k{r}_i+r_j,k\ne 0$

等价矩阵

• 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到,则称A和B为等价矩阵,记为$A\cong B$
  • 其中$\cong$式全等(congruent)号,在此处是等价号
• 等价矩阵的性质:
  • $A\cong A$
  • $若A\cong B则B\cong A$
  • $若A\cong B,B\cong C则A\cong C$

行阶梯形矩阵🎈

• Row Echelon Form,记为REF-Matrix

1. 若有零行(矩阵中元素全为0的行),则零行都位于矩阵下方(特点1)
2. 从第一行起,每行的主元(第一个非零元素)前面零的个数逐行增加(严格增加). (特点2)
   • 或者说,每行主元的列指标严格增加

变换步骤

• 为了得到行简化矩阵,可以执行一系列的初等变换(这些初等变换要么全是行变换,要么全是列变换)

• 将矩阵行中最接近全零行的行调整到第一行

• 利用第一行将第一列到最后一列尽可能的零化(使得结果满足特点1,2)

• $$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 5& 6\\ 1& -1& 3& -2\\ 2& 1& 3& 5\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{r_1\leftrightarrow r_4}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 3& -2\\ 2& 1& 3& 5\\ 3& 1& 5& 6\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-r_1\\ r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\end{array}}{\to } \\ \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -2& 2& -3\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& -2& 2& 3\end{array}\right)\stackrel{r_2\leftrightarrow r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& -2& 2& -3\\ 0& -2& 2& 3\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{c}{r}_3-2r_2\\ r_4-2r_2\end{array}}{\to } \\ \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& -9\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right)\stackrel{-\frac{1}{9}{r}_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right)\stackrel{r_4+3r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

• 行阶梯形矩阵的条件比较宽松,同一个矩阵化为行阶梯型矩阵的结果可以是多种多样的

  • 从一般行阶梯形矩阵化为行简化矩阵(最简矩阵)的过程(中间结果矩阵)都是行阶梯形矩阵

• 但是最简形式是一样的(行简化阶梯形矩阵)

行简化阶梯形矩阵@最简矩阵

• 简化列阶梯形矩阵或简约行梯形式矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），记为RREF-Matrix如果满足额外的条件：

  • 阶梯形矩阵中非零行主元(第一个非零元素)为1

  • 且主元所在的列的其他元素都为0

• $$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{r_1-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 4\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{r_2+3r_3;r_1-4r_3}{\to } \\ \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

等价标准形矩阵

• Matrix equivalence - Wikipedia

• Canonical form

• The rank property yields an intuitive canonical form for matrices of the equivalence class of rank k as

  • $$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& & \cdots & & 0\\ 0& 1& 0& & \cdots & & 0\\ 0& 0& \ddots & & & & 0\\ ⋮& & & 1& & & ⋮\\ & & & & 0& & \\ & & & & & \ddots & \\ 0& & & \cdots & & & 0\end{array}\right)$$

• where the number of 1s on the diagonal is equal to k. This is a special case of the Smith normal form, which generalizes this concept on vector spaces to free modules over principal ideal domains.

• 设A为n阶矩阵

  • 其等价矩阵(行简化阶梯形矩阵)中,位于左上角的子矩阵是一个r阶单位阵($r⩽n$)

  • 其余子块都是零矩阵(如果有的话)

  • note:当A是可逆方阵时,$r=n$

  • $$\begin{gathered} C=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0_{r\times s}\\ 0_{s\times r}& 0_s\end{array}\right) \\ r+s=n(r⩽n),当A可逆时取等号 \end{gathered}$$

  • 对A经过一系列的初等变换得到标准形矩阵C,可以用初等矩阵乘法表示为$PAQ=C$

    • 对两边取行列式:$|P||A||Q|=|C|$

      • 由拉普拉斯展开

        • $$\left|\begin{array}{cc}{A}_m& R\\ O& B_n\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{A}_m& O\\ R& B_n\end{array}\right|=|A_m|\cdot |B_n|$$

      • $|P||A||Q|=|E_r||0_s|$

    • 若A可逆,则$|A|\ne 0$

      • 初等矩阵$P,Q$均可逆($|P||Q|$不为0),等式$|P||A||Q|=|E_r||0_s|$左边不为0,所以等式右边也不为0

      • 可见,只有当r=n时,等式右边不为0,此时C是n阶单位矩阵

变换步骤

• 假设矩阵A经过初等行变换得行简化阶梯形矩阵B=RREF(A)

• 对B再所若干次初等列变换,得到A的等价标准型矩阵
  $$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{r_3-2r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{r_3+r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right) \\ \stackrel{r_3\leftrightarrow r_4}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

• 将过上述变换,将一个一般的方阵A变换为一个与之等价的标准形矩阵

小结

• 任意矩阵都可以通过若干次初等行变换化为"行阶梯形矩阵"和"行简化阶梯形矩阵"
• 任意矩阵都可以通过初等变换(包括行变换和列变换)化为等价的标准形矩阵

初等矩阵

• 单位矩阵E做一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵

  • 易知单位矩阵本身也是初等矩阵

  • 每个初等变换都有一个与之对应的初等矩阵

  • 交换第i,j两行(列)的位置,记为$P(i,j)$

    • 交换第i,j行和交换第i,j列效果一样

    • $$\left(\begin{array}{ccccccccccc}1& & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1& & & & & & & & \\ & & & (0)& & & & [1]& & & \\ & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & & 1& & & & \\ & & & (1)& & & & [0]& & & \\ & & & & & & & & 1& & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1\end{array}\right)$$

  • k倍乘第i行(列),记为$P(i(k))$

    • 第i行乘以k和第i列乘以k效果一样

    • $$\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & k& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$$

  • k倍乘第j行,加到第i行,记为$P(i,j(k))$

    • 第j行的k倍加到第i行$(r_i+k{r}_j)$效果等价于第i列乘以k倍加到第j列$(c_j+k{c}_i)$

    • 若$i,j$相等,此时变为倍乘效果

    • $$\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& \cdots & k& & \\ & & & \ddots & ⋮& & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$$

初等矩阵的结论🎈

• 初等矩阵有三类:$P(i,j),P(i(k)),P(i,j(k))$

• 初等矩阵均可逆,其逆矩阵仍然为初等矩阵(用逆矩阵定义可以求证下列结论)

  • 对初等矩阵取行列式,都不为0
  • $P(i,j{)}^{-1}=P(i,j)$
  • $P(i(k){)}^{-1}=P(i(k^{-1}))$
  • $P(i,j(k){)}^{-1}=P(i,j(-k))$

• 对矩阵$A_{m\times n}$

  • 做一次初等行变换,相当于对A左乘相应的$m$阶初等矩阵
  • 做一次初等列变换,相当于对A右乘相应的$n$阶初等矩阵.
  • 初等矩阵是由单位矩阵经过初等变换得到的.
    • 假设初等矩阵M是由单位阵E经过初等变换$P(f)$得到的$E\stackrel{P(f)}{\to }M$
      • $P(f)$变换可细分为
        • 初等行变换$P_r(f)$
        • 初等列变换,$P_c(f)$
        • 能够满足$E\to M$的变换即可
      • 可以初等矩阵M详细记为$M=M_{P(f)}$
    • 那么
      • $C=MA$相当于:对矩阵A做一次$P_r(f)$变换得到矩阵C
      • $D=AM$相当于:对矩阵A做一次$P_c(f)$变换得到矩阵D

• 证明:(以初等行变换)为例

  • 做如下矩阵分块(预计算),相比直接计算原始矩阵更加简洁

  • $$\begin{gathered} 一般的,设m阶矩阵B_{m\times m}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{14}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{24}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{41}& b_{42}& \cdots & b_{44}\end{array}\right) \\ 对矩阵A_{m\times n}进行分块(按行分块),A_i为第i行(i=1,2,\cdots m) \\ 由矩阵的分块乘法得到: \\ {C}_{m\times n}=BA=\left(\begin{array}{c}\sum _{k=1}^m{b}_{1k}{A}_k\\ \sum _{k=1}^m{b}_{2k}{A}_k\\ ⋮\\ \sum _{k=1}^m{b}_{mk}{A}_k\end{array}\right) \\ 其中\sum _{k=1}^m{b}_{ik}{A}_k和A_k都是1\times n的矩阵(行向量) \end{gathered}$$

  • 令$B=P(i,j)$
    $$C=BA=P(i,j)A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ ⋮\\ \boxed{A_j}\\ ⋮\\ \boxed{A_i}\\ ⋮\\ A_m\end{array}\right)$$

    • 这相当于把矩阵A的第i行和第j行互换

  • 类似的,令$B=P(i(k))$有:

    • $$C=BA=P(i(k))A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ ⋮\\ \boxed{k{A}_i}\\ ⋮\\ A_m\end{array}\right)$$

    • 这相当于把矩阵A的第i行乘以k倍

  • 令$B=P(i,j(k))$

    • $$C=BA=P(i,j(k))A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ ⋮\\ \boxed{A_i}+k{A}_j\\ ⋮\\ \boxed{A_j}\\ ⋮\\ A_m\end{array}\right)$$

    • 相当于将矩阵A第j行乘以k倍加到第i行

  • 右乘初等矩阵和列变换关系的证明

    • $$\begin{gathered} 设A_{m\times n},B_{n\times n} \\ 对A,B进行分块: \\ A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ ⋮\\ A_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right) \\ 其中A_i(i=1,\cdots ,m)是1\times n的行向量 \\ {\alpha }_j(j=1,\cdots ,n)是m\times 1的列向量 \\ B=\left(\begin{array}{cccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_n\end{array}\right) \\ 其中B_i(i=1,\cdots ,n)是n\times 1的列向量 \\ C=AB=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ ⋮\\ A_m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1{B}_1& A_1{B}_2& \cdots & A_1{B}_4\\ A_2{B}_1& A_2{B}_2& \cdots & A_2{B}_4\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_4{B}_1& A_4{B}_2& \cdots & A_4{B}_4\end{array}\right) \\ {C}_{ij}=A_i{B}_j是1\times 1的矩阵 \end{gathered}$$

    • 若$B=P(i,j)$

      • $$\begin{gathered} C=AB=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_j& \cdots & a_i& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_j& \cdots & a_i& \cdots & a_{mn}\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccccccc}{\alpha }_1& \cdots & {\alpha }_j& \cdots & {\alpha }_i& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right) \end{gathered}$$

      • 相当于将矩阵A的第i列和第j列互换

    • 若$B=P(i(k))$

      • $$\begin{gathered} C=AB=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & k{a}_i& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & k{a}_i& \cdots & a_{mn}\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccccc}{\alpha }_1& \cdots & k{\alpha }_i& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right) \end{gathered}$$

      • 相当于将矩阵A的第i列乘以k

    • 若$B=P(i,j(k))$

      • $$\begin{gathered} C=AB=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_i+k{a}_j& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_i+k{a}_j& \cdots & a_{mn}\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccccc}{\alpha }_1& \cdots & {\alpha }_i+k{a}_j& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right) \end{gathered}$$

      • 相当于将矩阵A的第j列乘以k加到第i列

小结

• 矩阵A和B等价的充分条件是存在初等矩阵$P_1,P_2,\cdots ,P_s$和$Q_1,Q_2,\cdots ,Q_t$使得

  • $B=P_s\cdots P_2{P}_{1}A{Q}_1{Q}_2\cdots Q_t$

• 可逆矩阵和同阶单位矩阵等价

  • 任意矩阵可以化为(存在)与之等价的标准形矩阵:

    • $PAQ=E$

逆矩阵计算@初等变换法

• n阶矩阵A可逆的充要条件是,A可以表示为若干个初等矩阵的乘积
  • 因为n阶矩阵A可逆(A与同阶单位阵E等价),则存在n阶初等矩阵序列$P=P_1{P}_2\cdots P_s$和$Q=Q_1{Q}_2\cdots Q_t$,使得
    • $PAQ=E$
    • 由于初等矩阵及其逆矩阵都是可逆矩阵($P_i,Q_j(i=1,2\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,t)$)都可逆
    • 两侧同时左乘$P^{-1}=P_s^{-1}\cdots P_2^{-1}{P}_1^{-1}$和$Q=Q_t^{-1}\cdots Q_2^{-1}{Q}_1^{-1}$
    • 则$A=PEQ=PQ$
    • 为例更加统一,可以记$W=PQ=P_1{P}_2\cdots P_s{Q}_1{Q}_2\cdots Q_t=W_1{W}_2\cdots W_z,(z=s+t)$
    • 所以可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积
• 任意可逆矩阵都可以经过初等行变换化为单位矩阵
  • 设A为可逆矩阵
  • A可以表示为若干个初等矩阵的乘积,记为$A=W_1{W}_2\cdots W_z$
  • $A^{-1}=W_s^{-1}\cdots W_2^{-1}{W}_1^{-1}$
  • 从而$A^{-1}A=W_s^{-1}\cdots W_2^{-1}{W}_1^{-1}A=E$
  • 即可逆矩阵A左乘初等矩阵序列 $W_s^{-1}\cdots W_2^{-1}{W}_1^{-1}$得到单位矩阵
  • 对A做若干初等行变换(而不需要初等列变换)就可求出$A^{-1}$
  • 利用这个原理可以求解可逆矩阵的逆

步骤

• 对n阶可逆矩阵A,构造一个$n\times 2n$的增广矩阵$B=(A|E{)}_{n\times 2n}$

• A可以表示为$A=P_1{P}_2\cdots P_s$

• 易知对$B=(A|E)$左乘$A^{-1}$,得到$A^{-1}B=(A^{-1}A|A^{-1}E)=(E|A^{-1})$

  • 由分块矩阵乘法公式可以得到上述结论$(a)(bc)=(abac)$

  • $A^{-1}$是我们需要求解的东西,往往无法直接得到

  • 但是$A^{-1}=P_s^{-1}\cdots P_2^{-1}{P}_1^{-1}$

    • $P_s^{-1}\cdots P_2^{-1}{P}_1^{-1}B=(E|A^{-1})$
    • 也就是说通过观察矩阵A(或其增广阵B),对其进行一系列初等行变换来得到包含$A^{-1}$的矩阵$(E|A^{-1})$,从该矩阵读出$A^{-1}$

利用初等行变换直接求解简单矩阵方程

• 对于基本的矩阵方程$AX=B$
  • A为n阶可逆方阵
  • B为$n\times m$矩阵
  • X则为$n\times m$矩阵
• 对$AX=B$两边同时左乘$A^{-1}$
  • $X=A^{-1}B$
• 构造$C=(A|B)$
  • 对两边同时左乘$A^{-1}$,$A^{-1}C=A^{-1}(A|B)=(E|A^{-1}B)$
  • 我们从$(E|A^{-1}B)$可以直接读出$X=A^{-1}B$(但是读不出$A^{-1}$)