易解问题与难解问题

易解问题的定义：一个问题能够在多项式时间内求解。
难解问题的定义：一个问题不能够在多项式时间内求解。
选择使用多项式时间来确定是否为难处理问题的原因：

易解问题的举例和难解问题的分类

易解的问题：排序问题、最优二分检索树问题、单源点最短路径问题等。
难解问题分为两类：

• 一类是不可计算的，即根本不存在求解的算法，如“任意的整系数多元代数方程是否有整数解”（著名的希尔伯特第十问题）
• 另一类是解法的时间限度为非多项式时间内，如在数理逻辑、组合游戏等领域内，已经找到一些问题，它们都有算法解决，但至少需要指数时间或指数空间，这些也都是难解的。
  难办的是，人们发现一大批问题（包括货郎担问题、背包问题等）既没有找到它们的多项式时间算法（目前没找到易解的算法），也没能证明它们是难解的。

P问题-非正式与正式定义、判定问题

非正式定义：我们可以把那些能够在多项式时间内求解的问题，当作计算机科学家所说的P集合。
正式定义：所有多项式时间内可解的判定问题所构成的问题集合，称为“P类”问题；一个判定问题是易解的，当且仅当它属于P类问题

最优化问题可转化为判定问题

如果判定问题不能在多项式时间内求解，那么与它相应的最优化问题也不能在多项式时间内求解。

NP问题-不确定算法

NP问题的定义：NP是所有可在多项式时间内用不确定算法验证的判定问题的集合。

不确定算法

一个不确定算法是一个两阶段的过程，

• 非确定（猜测）阶段：生成一个任意串S，把它当做给定实例l的一个候选解；
• 确定（验证）阶段：确定算法把l和S都作为它的输入，如果S的确是l的一个解，就输出“是”。
  

P与NP关系——约化/规约、NP完全问题、Cook定理、NP难问题

问题间的联系-归化/规约

约化举例

NP-完全问题

定义：

• 它是一个NP问题
• 所有的NP问题都可以归约到它

NP-Hard问题

定义：

• 所有的NP问题都可以归约到它
• 

NP-C与NP-Hard问题的关系

SAT问题

SAT问题——可满足性问题，为第一个被证明为NPC的问题，也称之为NP-完全问腿的种子
定义：

SAT的不确定算法

COOK定理

若证得SAT问题有多项式时间内的确定算法，就能证明P=NP

P、NP、NP-C、NP-Hard的关系图

P问题一定包含于NP-C问题