还是旧事重提，今天有事回家早，正好有个孩子上周末做错的一道简单的几何题比较有趣，拿出来啰嗦几句，写篇短文。

简单看一道题以及解法 1(常规的，学校里教的解法)：

从解法 1 中还可以引申出很多：

然而在这背后，你必须知道相似，各种几何定理，以及共圆的性质，否则你不可能一下子列出相似三角形比例相等。甚至即便你知道这一点，你也要先证明它们相似，证明的过程在本题中很简单，但别的题目就不一定。

这就劝退了很多人。笛卡尔的解析法让每个人都有能力按照 step by step 的步骤硬算出结果(列装的都不巧妙)：

然而这有什么意义吗？仔细看这个题目的图示，我换个画法：

将上图实例化一下：

• 可调式晾衣架
  • 杆 1 = 固定支架，杆 2 = 可升降横杆，弹簧 = 平衡拉绳
  • 典型场景：阳台升降晾衣杆、商店悬挂展示架
• 汽车引擎盖支撑杆
  • 杆 1 = 车身固定端，杆 2 = 引擎盖连接端，弹簧 = 气压支撑杆
  • 特殊设计：铰链处有自锁机构防止意外闭合
• 健身器械(握力器，拉力器)
  • 杆1，杆2 = 握柄，弹簧 = 阻力带
  • 变体形式：十字交叉拉力器，扩胸训练器，通过握柄夹角变化调节阻力
• 工业机械臂夹具
  • 杆 1 = 固定臂，杆 2 = 活动夹爪，弹簧 = 复位装置
  • 应用案例：自动化生产线上的自适应夹爪，弹簧保证夹持力随物体尺寸自动调整
• 折叠式梯子
  • 杆 1，杆 2 = 梯子两侧支架，弹簧 = 安全锁紧装置
  • 安全机制：展开时弹簧锁定铰链角度，防止意外折叠
• 防夹手钳
  • 这个不解释，太简单了。

如果没有一种可工程化硬算方法，以上这些装置就很难建模，难以受力分析，这还只是一个简单的实例，就更别提那些复杂的机械装置了。

让任何一种工程实践深度依赖于充满技巧的几何辅助线是低效的，不现实的。工程师们不得不将更多精力投入到技巧性几何问题的求解上，工程本身的细节反而被忽略，也因如此，古代的古典几何和工程问题的映射多数为静态，如穹顶，桥梁等，很少有动态关系的映射，像弓箭🏹️这种旧石器时代就已存在的简单物件，都难以用古典几何描述。

而世界的本质是关系，关系由变化触发。

古典欧氏几何学并不擅长表达关系，其中一点直观的原因是诉诸视觉的古典几何形态一旦涉及动态 “轨迹” 问题(如帕普斯问题)，辅助线技巧就失效了，这会带来静态关系数量指数级增长，画出来就是一团糟，即使想出来又难以表达，其实就是几何缺乏 “函数” 变量的思想，而函数是一个非几何的纯代数概念，古典几何很难理解 “一个点是遵循特定约束的一条线的函数” 这种说法，但代数和几何这两个相互隔绝的领域被笛卡尔拉通了。

解析几何，能描述所有几何图形，却又不认识一个几何图形，最终它表达的就是坐标系中任意一点和其它任意一点在某种用关系描述的(“几何的”)约束下的关系，这是一种递归的定义，由此，坐标轴也不再限于 x，y，由于坐标系中可表示任意数量的关系，任意维度的坐标系中都遵循同一套计算方法，这显然描述的就是世界本身了。

此处就不再过多提起希尔伯特空间，总之，世界变得可解析后，理性化和怯魅解构了古代天人合一的自然世界，从此世界被分为了坐标系和坐标，也就是标尺和客体，人从世界中走向世界外，观察世界，分析世界，改造世界，这就是现代世界。

当然，这种世界观远不是终极真理，但它确实把我们带到了我们站在的当下。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。