单纯形法之大M法

1. 问题背景与标准化

在求解某些线性规划问题时，往往难以直接找到初始的基本可行解。特别是当约束中存在等式或 “≥” 类型的不等式时，我们需要引入人工变量来构造一个初始可行解。

考虑如下标准形式问题（假设为最大化问题）：

$\begin{aligned} \text{Maximize } & Z = c^T x, \\ \text{Subject to } & Ax = b, \\ & x \ge 0. \end{aligned}$

当约束中有“=”或“≥”约束时，为使模型满足“基本变量个数等于约束个数”的条件，我们引入人工变量 a≥0 。

2. 引入人工变量与大 M 惩罚

2.1. 人工变量的引入

对于形如
$Ax = b$
的约束，如果直接采用松弛或剩余变量无法得到初始可行解，则引入人工变量 a≥0 ，使约束变为
$Ax + a = b.$ .
对于 “≥” 约束，同样引入剩余变量后再补充人工变量，保证约束满足等式形式。

2.2. 修改目标函数

为避免在最终解中保留人工变量，需在目标函数中给予这些变量一个巨大的惩罚。对于最大化问题，通常将人工变量前的系数设为 −M （其中 M 是一个非常大的正数），修改后的目标函数为：

$\text{Maximize } Z = c^T x - M \sum_{i\in \mathcal{A}} a_i,$

其中 $\mathcal{A}$ 表示所有人工变量的集合。这样做的目的在于：

若人工变量在最优解中不为零，则由于扣分 −M 其目标值会大幅降低，迫使求解过程中尽量消除人工变量；
当存在一个可行解不需要使用人工变量时，最终解会将所有人工变量淘汰（即取零）。

3. 构造初始单纯型表

将原问题中所有变量（原决策变量、松弛/剩余变量、人工变量）统一构成向量，再构造单纯型表。设扩展后的变量记为

$x' = (x, \, s, \, a)$

目标函数写成：

相应的约束矩阵也经过扩充，使得原约束变为标准等式形式。

初始时，我们选取人工变量作为基本变量，从而构造一个初始基本可行解（注意：此解可能并非真实意义下的“可行解”，因为人工变量仅为辅助求解而引入）。

4. 大 M 法的单纯型迭代过程

4.1. 目标函数的重写

类似于普通单纯型法，我们把目标函数用基变量和非基变量表示。令 B 为当前基矩阵（其中包含人工变量），则基本解为

$x_B = B^{-1}b.$

目标函数可以写为

$Z = c_B^T x_B + (c_N^T - c_B^T B^{-1}N)x_N.$

其中：

$c_B$ 中可能包含 −M 对应的人工变量；
检验数（相对成本）为
$\overline{c_j} = c_j - c_B^T B^{-1}A_j.$

4.2. 迭代与淘汰人工变量

在迭代过程中，由于目标函数中对人工变量赋予了极大负值 −M ，如果存在能使目标函数改善的换入操作，就会倾向于选择那些能使人工变量离开基的换入变量。单纯型法的迭代步骤与普通方法类似：

进基变量选择：检查所有非基变量的检验数，若存在 $\overline{c_j} > 0$ （对于最大化问题），则选择最有利的变量进基；
出基变量选择：计算方向向量，利用最小比值法确定允许步长和出基变量。

关键在于：

当存在一个完全可行的解（即一个解不需要使用人工变量）时，经过有限步迭代，所有人工变量将被淘汰（或其值收缩为零）。
若最终得到的最优解中仍含有正值的人工变量，则表明原问题没有可行解。

5. 数学证明与思想总结

5.1. 惩罚机制确保解的“真实性”

由于引入了惩罚系数 M ，在目标函数中任何非零的人工变量都会使目标值大幅下降。设若在某一基本解中某个人工变量 $a_i$ 保持正值，则对应目标函数贡献为 $M\, a_i$ 。

当 M 足够大时，任何含有非零人工变量的解都不是最优解；
如果存在一个可行解（即不存在必须依赖人工变量）时，最优解必然使所有人工变量取零。

5.2. 终止与可行性判断

终止条件：当所有非基变量的检验数都满足最优性条件时，算法终止。
无可行解判断：若在最优解中发现有某个人工变量 $a_i > 0$ ，则说明原问题无可行解。

5.3. 收敛性与大 M 的选择

理论上，M 应当取足够大，使得其影响在求解过程中远大于其他系数的作用，但实际计算中需避免因 M 过大而引起数值不稳定；
大 M 法证明的核心在于：在有限次迭代内，若存在一个不依赖人工变量的可行解，则算法必然能将所有人工变量驱逐出基，并找到该最优解。

6. 总结

大 M 法的理论推导过程主要包括以下几个步骤：

问题标准化：将问题写为等式约束形式，必要时引入松弛、剩余和人工变量。
目标函数修改：在目标函数中对人工变量施加巨大的惩罚（对于最大化问题，人工变量前系数取 −M ）。
构造初始单纯型表：以包含人工变量的基本可行解作为起始点。
单纯型迭代：按照单纯型法的标准步骤进行迭代，通过换基操作改善目标函数值，同时尽量淘汰人工变量。
终止与判断：若最终最优解中所有人工变量均为零，则得到原问题的最优解；反之，则原问题无可行解。