【漫话机器学习系列】148.Softplus 函数

Softplus 函数详解

1. Softplus 函数介绍

Softplus 函数是一种用于神经网络和深度学习的激活函数，其数学表达式如下：

$f(x) = \log(1 + e^x)$

Softplus 函数是一种平滑的非线性激活函数，与 ReLU（Rectified Linear Unit，修正线性单元）具有相似的特性，但在 x 轴的负方向具有更平滑的渐变。

2. Softplus 的数学性质

Softplus 函数有以下几个重要的数学性质：

平滑性：Softplus 函数是一个平滑的函数，相较于 ReLU，Softplus 在 x = 0 处的过渡更加平滑，这使得它的导数不会出现不连续的情况。
导数（梯度）：通过对 Softplus 进行求导，我们可以得到：
$f'(x) = \frac{d}{dx} \log(1 + e^x) = \frac{e^x}{1 + e^x} = \sigma(x)$
这里的 $\sigma(x)$ 就是 Sigmoid 函数：
$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$
这意味着 Softplus 函数的导数与 Sigmoid 函数完全一致。
数值范围：
- 当 $x \to -\infty$ 时， $e^x$ 变得非常小，因此 Softplus 近似于 0。
- 当 $x \to +\infty$ 时， $e^x$ 变得非常大，因此 Softplus 近似于 x（即 ReLU）。
与 ReLU 的关系：
- 当 $x \gg 0$ 时，Softplus 近似于 ReLU，即 $f(x) \approx x$ 。
- 当 $x \ll 0$ 时，Softplus 近似于 0，而 ReLU 在 x < 0 时是严格等于 0。
由于 Softplus 平滑且可导，它常用于某些需要稳定梯度的场景。

3. Softplus 在深度学习中的应用

Softplus 函数在神经网络和深度学习中主要用作 激活函数，其主要应用场景如下：

用于替代 ReLU：由于 ReLU 在 x = 0 处不可导，在某些优化问题中可能会导致梯度消失或者梯度不稳定。Softplus 作为 ReLU 的平滑近似，可以减少这些问题。
用于概率模型：在某些概率模型（如高斯混合模型）中，Softplus 作为非负函数，被用来确保参数始终为正。例如，在变分自编码器（VAE）中，Softplus 可以用于保证方差参数始终为正。
用于稳定训练：由于 Softplus 具有光滑的导数，它在某些需要稳定梯度的深度学习任务中比 ReLU 更合适，比如处理小批量数据或者避免梯度爆炸。

4. 代码示例

可以使用 Python 和 TensorFlow（或 PyTorch）来实现 Softplus 函数。

TensorFlow 实现：

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义 Softplus 函数
def softplus(x):return tf.math.log(1 + tf.exp(x))# 生成输入数据
x = np.linspace(-10, 10, 100)# 计算 Softplus 值
y = softplus(x)# 画图
plt.plot(x, y, label="Softplus")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Softplus(x)")
plt.title("Softplus Function")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

PyTorch 实现：

import torch
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 定义 Softplus 函数
softplus = torch.nn.Softplus()# 生成输入数据
x = torch.linspace(-10, 10, 100)# 计算 Softplus 值
y = softplus(x)# 画图
plt.plot(x.numpy(), y.numpy(), label="Softplus")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Softplus(x)")
plt.title("Softplus Function")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

5. 结论

Softplus 是一个平滑的、可微的激活函数，与 ReLU 具有类似的特性，但在负数区域具有更好的梯度表现。由于其导数是 Sigmoid，它在某些优化任务中具有稳定的梯度，适用于需要平滑非线性变换的神经网络应用。虽然在实际应用中 ReLU 由于计算效率较高而更受欢迎，但 Softplus 在某些特殊场景（如概率模型、变分推断）中仍然具有重要的价值。