动手学深度学习11.8. RMSProp算法-笔记练习（PyTorch）

以下内容为结合李沐老师的课程和教材补充的学习笔记，以及对课后练习的一些思考，自留回顾，也供同学之人交流参考。

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本节教材地址：11.8. RMSProp算法 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation

本节开源代码：...>d2l-zh>pytorch>chapter_optimization>rmsprop.ipynb

RMSProp算法

11.7节中的关键问题之一，是学习率按预定时间表 $\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})$ 显著降低。虽然这通常适用于凸问题，但对于深度学习中遇到的非凸问题，可能并不理想。但是，作为一个预处理器，Adagrad算法按坐标顺序的适应性是非常可取的。

(Tieleman and Hinton, 2012) 建议以RMSProp算法作为将速率调度与坐标自适应学习率分离的简单修复方法。问题在于，Adagrad算法将梯度 $\mathbf{g}_t$ 的平方累加成状态矢量 $\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2$ 。因此，由于缺乏规范化，没有约束力， $\mathbf{s}_t$ 持续增长，几乎上是在算法收敛时呈线性递增。

解决此问题的一种方法是使用 $\mathbf{s}_t / t$ 。对 $\mathbf{g}_t$ 的合理分布来说，它将收敛。遗憾的是，限制行为生效可能需要很长时间，因为该流程记住了值的完整轨迹。另一种方法是按动量法中的方式使用泄漏平均值，即 $\mathbf{s}_t \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1-\gamma) \mathbf{g}_t^2$ ，其中参数 $\gamma > 0$ 。保持所有其它部分不变就产生了RMSProp算法。

算法

让我们详细写出这些方程式。

$\begin{aligned} \mathbf{s}_t & \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2, \\ \mathbf{x}_t & \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \odot \mathbf{g}_t. \end{aligned}$

常数 $\epsilon > 0$ 通常设置为 $10^{-6}$ ，以确保我们不会因除以零或步长过大而受到影响。鉴于这种扩展，我们现在可以自由控制学习率 $\eta$ ，而不考虑基于每个坐标应用的缩放。就泄漏平均值而言，我们可以采用与之前在动量法中适用的相同推理。扩展 $\mathbf{s}_t$ 定义可获得

$\begin{aligned} \mathbf{s}_t & = (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{s}_{t-1} \\ & = (1 - \gamma) \left(\mathbf{g}_t^2 + \gamma \mathbf{g}_{t-1}^2 + \gamma^2 \mathbf{g}_{t-2} + \ldots, \right). \end{aligned}$

同之前在 11.6节小节一样，我们使用 $1 + \gamma + \gamma^2 + \ldots, = \frac{1}{1-\gamma}$ 。因此，权重总和标准化为 1 且观测值的半衰期为 $\gamma^{-1}$ 。让我们图像化各种数值的 $\gamma$ 在过去40个时间步长的权重。

补充：

每个过去的梯度平方 $\mathbf{g}_{t-k}^2$ 的权重是 $\gamma^k$ 。随着时间步 $k$ 的增加，权重 $\gamma^k$ 会逐渐衰减。因此， $\gamma$ 的值决定了历史梯度平方对当前更新的贡献程度。

如果 $\gamma$ 接近 1，权重衰减得慢，历史信息的影响持续时间长。
如果 $\gamma$ 接近 0，权重衰减得快，历史信息的影响持续时间短。

import math
import torch
from d2l import torch as d2l
d2l.set_figsize()
gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7]
for gamma in gammas:x = torch.arange(40).detach().numpy()d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}')
d2l.plt.xlabel('time')

从零开始实现

和之前一样，我们使用二次函数 $f(\mathbf{x})=0.1x_1^2+2x_2^2$ 来观察RMSProp算法的轨迹。回想在 11.7节一节中，当我们使用学习率为0.4的Adagrad算法时，变量在算法的后期阶段移动非常缓慢，因为学习率衰减太快。 RMSProp算法中不会发生这种情况，因为 $\eta$ 是单独控制的。

def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2return x1, x2, s1, s2def f_2d(x1, x2):return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))

输出结果：
epoch 20, x1: -0.010599, x2: 0.000000

接下来，我们在深度网络中实现RMSProp算法。

def init_rmsprop_states(feature_dim):s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))s_b = torch.zeros(1)return (s_w, s_b)
def rmsprop(params, states, hyperparams):gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6for p, s in zip(params, states):with torch.no_grad():s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * torch.square(p.grad)p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)p.grad.data.zero_()

我们将初始学习率设置为0.01，加权项 $\gamma$ 设置为0.9。也就是说， $\mathbf{s}$ 累加了过去的 $1/(1-\gamma) = 10$ 次平方梯度观测值的平均值。

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim),{'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim)

输出结果：
loss: 0.245, 0.025 sec/epoch

简洁实现

我们可直接使用深度学习框架中提供的RMSProp算法来训练模型。

trainer = torch.optim.RMSprop
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9},data_iter)

输出结果：
loss: 0.244, 0.012 sec/epoch

小结

RMSProp算法与Adagrad算法非常相似，因为两者都使用梯度的平方来缩放系数。
RMSProp算法与动量法都使用泄漏平均值。但是，RMSProp算法使用该技术来调整按系数顺序的预处理器。
在实验中，学习率需要由实验者调度。
系数 $\gamma$ 决定了在调整每坐标比例时历史记录的时长。

补充

在RMSProp算法中，系数 $\gamma$ 决定了历史梯度平方对当前更新的贡献程度。具体来说， $\gamma$ 决定了历史信息的保留时长：

- 较大的 $\gamma$ （越接近于1）：保留更多历史信息，对近期梯度变化反应较慢。
- 较小的 $\gamma$ （越接近于0）：保留较少历史信息，对近期梯度变化反应更快。

这种机制使得RMSProp能够在动态调整学习率的同时，平衡对历史梯度信息的依赖程度。

练习

如果我们设置 $\gamma = 1$ ，实验会发生什么？为什么？
解：
如果设置 $\gamma = 1$ ，则更新公式变为： $s_t = s_{t-1}$
这意味着 $\mathbf{s}_t$ 的值将不再更新，始终保持为初始值 $s_0$ ，RMSProp算法失去了动态动态调整学习率的能力，也无法根据梯度的历史信息进行优化，算法无法正常工作。
代码如下：

d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 1},data_iter)

输出结果：
loss: nan, 0.012 sec/epoch

2. 旋转优化问题以最小化 $f(\mathbf{x}) = 0.1 (x_1 + x_2)^2 + 2 (x_1 - x_2)^2$ 。收敛会发生什么？
解：
RMSProp算法通过维护梯度平方的加权平均值来调整学习率，这使得它能够适应不同方向上的梯度变化，并相应地调整学习率，收敛到接近(1,1)。
代码如下：

def rmsprop_2d_rotation(x1, x2, s1, s2):g1, g2, eps = 4.2 * x1 - 3.8, 4.2 * x2 - 3.8, 1e-6s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2return x1, x2, s1, s2def f_2d_rotation(x1, x2):return 0.1 * (x1 + x2) ** 2 + 2 * (x1 - x2) ** 2eta, gamma = 0.4, 0.9
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d_rotation))

输出结果：
epoch 20, x1: 0.840102, x2: 0.904762

3. 试试在真正的机器学习问题上应用RMSProp算法会发生什么，例如在Fashion-MNIST上的训练。试验不同的取值来调整学习率。
解：
代码如下：

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2lnet = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.Sigmoid(),nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.Sigmoid(),nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),nn.Flatten(),nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.Sigmoid(),nn.Linear(120, 84), nn.Sigmoid(),nn.Linear(84, 10))
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)
def train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, device):def init_weights(m):if type(m) == nn.Linear or type(m) == nn.Conv2d:nn.init.xavier_uniform_(m.weight)net.apply(init_weights)print('training on', device)net.to(device)loss = nn.CrossEntropyLoss()animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs],legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])timer, num_batches = d2l.Timer(), len(train_iter)for epoch in range(num_epochs):metric = d2l.Accumulator(3)net.train()for i, (X, y) in enumerate(train_iter):timer.start()optimizer.zero_grad()X, y = X.to(device), y.to(device)y_hat = net(X)l = loss(y_hat, y)l.backward()optimizer.step()with torch.no_grad():metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])timer.stop()train_l = metric[0] / metric[2]train_acc = metric[1] / metric[2]if (i + 1) % (num_batches // 5) == 0 or i == num_batches - 1:animator.add(epoch + (i + 1) / num_batches,(train_l, train_acc, None))test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc))print(f'loss {train_l:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, 'f'test acc {test_acc:.3f}')print(f'{metric[2] * num_epochs / timer.sum():.1f} examples/sec 'f'on {str(device)}')
lr, alpha, num_epochs = 0.01, 0.9, 10
optimizer = torch.optim.RMSprop(net.parameters(), lr=lr, alpha=alpha)
train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

输出结果：
loss 0.262, train acc 0.900, test acc 0.883
22394.2 examples/sec on cpu

lr, alpha, num_epochs = 0.01, 0.5, 10
optimizer = torch.optim.RMSprop(net.parameters(), lr=lr, alpha=alpha)
train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

输出结果：
loss 0.308, train acc 0.886, test acc 0.875
25487.7 examples/sec on cpu

lr, alpha, num_epochs = 0.01, 0.1, 10
optimizer = torch.optim.RMSprop(net.parameters(), lr=lr, alpha=alpha)
train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

输出结果：
loss 0.388, train acc 0.863, test acc 0.848
24416.1 examples/sec on cpu

4. 随着优化的进展，需要调整 $\gamma$ 吗？RMSProp算法对此有多敏感？
解：
在大多数情况下，RMSProp算法的 $\gamma$ 是一个相对稳定的超参数。默认值通常为0.9。这些值在许多任务中表现良好，因此在训练过程中通常不需要动态调整 $\gamma$ 。
但如果训练过程中发现算法对历史梯度信息的依赖过强（例如收敛速度过慢），可以尝试略微降低 $\gamma$ 的值，以增加对近期梯度的敏感性。反之，如果发现算法对近期梯度变化过于敏感（例如出现震荡），可以尝试增加 $\gamma$ 的值。
RMSProp算法对 $\gamma$ 的选择较为敏感。不同的 $\gamma$ 值会显著影响优化过程。例如，较高的 $\gamma$ 值会使算法更多地依赖历史梯度信息，适合需要长期记忆的场景；而较低的 $\gamma$ 值则更适合对近期梯度变化更敏感的任务。