47 AVL树的实现

一、AVL树的概念

二、AVL树的实现

（一）AVL树的结构

（二）AVL树的插入

1、AVL树插入值的过程

2、平衡因子更新

3、实现代码

（三）旋转

1、旋转的规则

2、右单旋

3、右单旋的代码实现

4、左单旋

5、左单旋的代码实现

6、左右双旋

7、左右双旋的代码实现

8、右左双旋

9、右左双旋的代码实现

（四）AVL树的一些其他代码

1、AVL树的查找

2、AVL树平衡检测

三、AVL树的调试技巧

一、AVL树的概念

• AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索⼆叉树，通过控制高度差去控制平衡。

• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

• AVL树实现这里引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。

• 为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？通过画图分析会发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0。

• AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN)，相比二叉搜索树有了本质的提升。

AVL树的示例图如下：

平衡因子超过1的绝对值的情况：

二、AVL树的实现

（一）AVL树的结构

代码如下所示：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://AVL实现内容
private:Node* _root = nullptr;
};

（二）AVL树的插入

1、AVL树插入值的过程

1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新【从新增结点->根结点路径上的平衡因子】，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况下面再详细分析。

3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。

4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后调整平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2、平衡因子更新

更新原则：

• 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

• 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。

• 插入结点，会增加高度，所以新增结点若在parent的右子树，parent的平衡因子++，若新增结点在parent的左子树，parent平衡因子--。

• parent 所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

更新停止条件：

• 更新后parent的平衡因子等于0，则更新中的parent的平衡因子变化为【-1到0】或者【1到0】，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

如下图所示，更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束：

• 更新后parent的平衡因子等于 1 或 -1，则更新中parent的平衡因子变化为【0到1】或者【0到-1】，说明更新前parent子树两边一样高，新增的插如结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。

如下图所示：

• 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，则更新中parent的平衡因子变化为【1到2】或者【-1到-2】，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：

① 把parent子树旋转平衡。

② 降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

如下图所示，更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理：

• 不断更新，更新到根，根的平衡因子是1或-1也停止了。

3、实现代码

//节点的插入：
//①插入 ②更新平衡因子 ③旋转
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}elsereturn false;}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parent = parent;// 更新平衡因⼦while (parent){// 更新平衡因⼦if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){// 更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 不平衡了，旋转处理break;}else{//若出现其他情况直接断言断死，就知道是在这里出错了assert(false);}}return true;
}

（三）旋转

1、旋转的规则

1. 保持搜索树的规则。

2. 让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的高度。

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这里是为了方便讲解，实际中是什么值都可以，只要大小关系符合搜索树的性质即可。

2、右单旋

• 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进行了详细描述。

• 在a子树中插如一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右嘎婆度差超过1的绝对值，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插如之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

图1,右单旋的过程

图2/3/3/4/5,展示右单旋的多种情况，所以要抽象为a/b/c三个子树

3、右单旋的代码实现

//右单旋实现代码
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 需要注意除了要修改孩子指针指向，还要修改父亲parent->_left = subLR;if (subLR)//subLR(b子树)可能为空，要做判断subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的子树// 如果是整棵树的根，要修改_root// 如果是局部的指针要跟上⼀层链接if (parentParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

4、左单旋

• 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有左单旋的场景，实际右左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类似。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1的绝对值，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

图6

5、左单旋的代码实现

//左单旋实现代码
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

6、左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为根的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

图7

图8

• 图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲节点5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这子我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

7、左右双旋的代码实现

先左单旋然后右单旋，再修改平衡因子。

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0)//b子树为空的情况{subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1)//新增节点插入到b子树的左子树e情况{subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1)//新增节点插入到b子树的右子树f情况{subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}elseassert(false);
}

8、右左双旋

• 跟左右双旋类似，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

9、右左双旋的代码实现

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0)//b子树为空的情况{subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1)//新增节点插入到b子树的右子树f情况{subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1)//新增节点插入到b子树的左子树e情况{subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

（四）AVL树的一些其他代码

1、AVL树的查找

拿二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)。

代码实现如下：

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}elsereturn cur;}return nullptr;
}

2、AVL树平衡检测

int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{// 空树也是AVL树if (nullptr == root)return true;// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "⾼度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因⼦异常" << endl;return false;}// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}