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文件 1：The energy technique for the six-step BDF method.pdf

这篇论文研究了六阶 BDF 方法的稳定性分析，并将其应用于抛物线方程的数值解。主要内容包括：

• 引言：介绍了 BDF 方法的基本原理和六阶 BDF 方法的特性，以及稳定性分析的重要性。

• 六阶 BDF 方法的乘子：由于六阶 BDF 方法没有 Nevanlinna-Odeh 乘子，论文提出了更宽松的乘子条件，并给出了满足条件的具体乘子。1P11P2

• 稳定性分析：利用能量技术和 Grenander-Szegö 定理，证明了满足条件的乘子可以使六阶 BDF 方法在抛物线方程上稳定。1P11P3

文件 2：2022 CSIAM-AM energyAnalysisBDF345(Corrigendum).pdf

这篇论文利用离散正交卷积核技术，重新建立了经典能量分析，从而可以分析三阶至五阶 BDF 方法的稳定性和收敛性。主要内容包括：

• 引言：介绍了 BDF 方法的背景和应用，以及经典能量分析的局限性。

• 新的 BDF 方法和 IMEX 方案：基于时间节点 tn+β 的泰勒展开，构造了新的 BDF 和 IMEX 方案，并研究了其稳定性区域。

• 新的 BDF 和 IMEX 方案的乘子：找到了新的 BDF 和 IMEX 方案的二阶至四阶方案的显式统一乘子，并推导了与之相关的望远镜公式。

• 稳定性分析和误差估计：利用能量方法，建立了新的 IMEX 方案在非线性抛物线方程上的稳定性和误差估计。5P185P19

• 数值示例：通过数值例子验证了新方法的稳定性和收敛性，并展示了其优越性。5P255P265P275P28

文件 3：G-stability is equivalent toA-stability.pdf

这篇论文研究了多步法的 G 稳定性与其 A 稳定性之间的关系，并证明了它们是等价的。主要内容包括：

• 引言：介绍了多步法的背景和应用，以及 G 稳定性和 A 稳定性的概念。

• 辅助结果：从复分析的角度，介绍了正函数的性质和与 A 稳定性的关系。

• G 稳定性与 A 稳定性的等价性：通过构造正定矩阵 G 和应用最大值原理，证明了 G 稳定性是 A 稳定性的充分必要条件。

• 推广：将结果推广到包含圆盘或半平面的情况，并讨论了非线性和变步长问题。4P12

文件 4：SINUM24bOn a new class of BDF and IMEX schemes for parabolic type equations.pdf

这篇论文研究了基于时间节点 tn+β 的泰勒展开，构造了一类新的 BDF 和 IMEX 方案，并进行了稳定性分析和误差估计。主要内容包括：

• 引言：介绍了 BDF 方法和 IMEX 方案在求解抛物线方程中的应用，以及经典方法的局限性。

• 新的 BDF 和 IMEX 方案：基于时间节点 tn+β 的泰勒展开，构造了新的 BDF 和 IMEX 方案，并研究了其稳定性区域。5P2

• 新的 BDF 和 IMEX 方案的乘子：找到了新的 BDF 和 IMEX 方案的二阶至四阶方案的显式统一乘子，并推导了与之相关的望远镜公式。

• 线性抛物线方程的稳定性：利用能量方法，建立了新的 BDF 方案在线性抛物线方程上的稳定性结果。5P16

• 非线性抛物线方程的稳定性和误差估计：利用稳定性结果，建立了新的 IMEX 方案在非线性抛物线方程上的稳定性和误差估计。5P185P19

• 与经典方法的比较：将新方法的稳定性条件与经典方法进行了比较，并展示了其优越性。5P23

• 五阶方法的扩展：通过数值结果验证了新方法对五阶方案的适用性。

• 数值示例：通过数值例子验证了新方法的稳定性和收敛性，并展示了其优越性。5P255P265P275P28

文件 5：2024_4_21_ 老师WBDF7报告PPT.pdf

这份报告介绍了加权平移七阶 BDF 方法在抛物线方程上的应用。主要内容包括：

• WSBDF7 方法：介绍了 WSBDF7 方法的构造过程，并分析了其稳定性区域。

• WSBDF7 方法的乘子：给出了 WSBDF7 方法的具体乘子，并解释了其确定方法。

• 稳定性分析：利用能量方法，证明了 WSBDF7 方法在抛物线方程上的稳定性。

• 误差估计：给出了 WSBDF7 方法的误差估计。

• 数值结果：通过数值例子验证了 WSBDF7 方法的稳定性和收敛性。

文件 1：The energy technique for the six-step BDF method.pdf

• 背景：BDF 方法是求解刚性问题的一种常用隐式方法，但其高阶方法往往需要较小的步长，限制了其在实际应用中的使用。

• 目标：利用能量技术，找到使六阶 BDF 方法在抛物线方程上稳定的乘子，并证明其稳定性。

• 方法：

  • 乘子条件：由于六阶 BDF 方法没有 Nevanlinna-Odeh 乘子，论文提出了更宽松的乘子条件，即满足 A 稳定性条件和正性条件。1P11P2

  • 能量方法：利用能量技术和 Grenander-Szegö 定理，将稳定性分析转化为对矩阵特征值和生成函数的分析。1P11P3

  • 乘子构造：通过分析生成函数和泰勒级数，找到了满足条件的具体乘子。

• 结果：证明了满足条件的乘子可以使六阶 BDF 方法在抛物线方程上稳定，并给出了稳定性估计。1P1

文件 2：2022 CSIAM-AM energyAnalysisBDF345(Corrigendum).pdf

• 背景：经典能量分析可以用于分析 A 稳定的 BDF1 和 BDF2 方法的稳定性和收敛性，但对于三阶至五阶 BDF 方案不适用。

• 目标：利用离散正交卷积核技术，重新建立经典能量分析，从而可以分析三阶至五阶 BDF 方法的稳定性和收敛性。

• 方法：

  • DOC 核：利用离散正交卷积核技术，将 BDF 方案转化为卷积形式，并引入 DOC 核的概念。2P3

  • 稳定性分析：利用 DOC 核的正定性、衰减性和初始项的衰减性，建立了 BDF 方案在 L2 范数下的稳定性估计。2P3

  • 收敛性分析：利用稳定性估计和误差方程，建立了 BDF 方案在 L2 范数下的收敛性估计。

• 结果：建立了新的 BDF 和 IMEX 方案在 L2 范数下的稳定性和收敛性估计，并通过数值例子验证了其优越性。

文件 3：G-stability is equivalent toA-stability.pdf

• 背景：G 稳定性是用于分析多步法稳定性的一个重要概念，但其与 A 稳定性的关系尚不清楚。

• 目标：证明 G 稳定性和 A 稳定性是等价的。

• 方法：

  • 正函数：利用复分析中的正函数概念，将 G 稳定性和 A 稳定性转化为函数的性质。

  • 矩阵 G 的构造：通过构造正定矩阵 G 和应用最大值原理，证明了 G 稳定性是 A 稳定性的充分必要条件。

  • 推广：将结果推广到包含圆盘或半平面的情况，并讨论了非线性和变步长问题。4P12

• 结果：证明了 G 稳定性和 A 稳定性是等价的，并给出了其推广结果。

文件 4：SINUM24bOn a new class of BDF and IMEX schemes for parabolic type equations.pdf

• 背景：经典 BDF 和 IMEX 方案在求解抛物线方程时，往往需要较小的步长，限制了其使用效率。

• 目标：利用时间节点 tn+β 的泰勒展开，构造新的 BDF 和 IMEX 方案，并分析其稳定性和收敛性。

• 方法：

  • 新方案构造：基于时间节点 tn+β 的泰勒展开，构造了新的 BDF 和 IMEX 方案，并分析了其稳定性区域。5P2

  • 乘子构造：找到了新的 BDF 和 IMEX 方案的二阶至四阶方案的显式统一乘子，并推导了与之相关的望远镜公式。

  • 稳定性分析和误差估计：利用能量方法，建立了新的 IMEX 方案在非线性抛物线方程上的稳定性和误差估计。5P185P19

  • 与经典方法的比较：将新方法的稳定性条件与经典方法进行了比较，并展示了其优越性。5P23

• 结果：建立了新的 BDF 和 IMEX 方案在 L2 范数下的稳定性和收敛性估计，并通过数值例子验证了其优越性。

文件 5：2024_4_21_ 老师WBDF7报告PPT.pdf

• 背景：七阶 BDF 方案在抛物线方程上不稳定，限制了其应用。

• 目标：利用加权平移技术，构造稳定的 WSBDF7 方法，并分析其稳定性。

• 方法：

  • WSBDF7 方法构造：介绍了 WSBDF7 方法的构造过程，并分析了其稳定性区域。

  • 乘子确定：给出了 WSBDF7 方法的具体乘子，并解释了其确定方法。

  • 稳定性分析：利用能量方法，证明了 WSBDF7 方法在抛物线方程上的稳定性。

  • 误差估计：给出了 WSBDF7 方法的误差估计。

• 结果：证明了 WSBDF7 方法在抛物线方程上是稳定的，并通过数值例子验证了其优越性。

ode书

份文档是《常微分方程求解：非刚性问题》一书的第二版，作者为 Ernst Hairer 和 Gerhard Wanner。该书主要涵盖了常微分方程的经典理论，以及数值解法，特别是针对非刚性问题的解法。

全书内容分为三个主要部分：

第一部分：经典数学理论

• 术语和定义： 介绍了常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶方程，以及初始值问题和边值问题。

• 早期微分方程： 回顾了微分方程的历史发展，从牛顿和莱布尼茨的早期工作，到欧拉、拉格朗日和哈密顿的时代。P14

• 初等积分方法： 讨论了一些简单的可积微分方程的解法，包括可分离变量方程、线性方程和总微分方程。

• 线性微分方程： 研究了线性微分方程的通解，包括齐次方程和特解，以及常数系数线性方程的解法。

• 具有弱奇点的方程： 探讨了具有奇点的微分方程的解法，包括线性方程和非线性方程，以及欧拉方法的改进。

• 方程组的解法： 讨论了微分方程组的解法，包括振动弦和声波传播的例子，以及拉格朗日力学和哈密顿力学。

• 一般存在定理： 介绍了皮亚诺定理和存在定理，以及欧拉方法和泰勒级数在解微分方程中的应用。

• 方程组的存在理论： 将存在理论扩展到微分方程组，并讨论了向量符号和从属矩阵范数。

• 微分不等式： 介绍了微分不等式，以及它们在估计误差和证明解的存在唯一性方面的应用。P69

• 线性微分方程组的解法： 研究了线性微分方程组的解法，包括解的估计和唯一性，以及特征值问题和克莱姆法则。

• 具有常数系数的方程组： 讨论了具有常数系数的线性微分方程组的解法，包括线性化、对角化和舒尔分解。

• 稳定性： 介绍了稳定性理论，包括李雅普诺夫函数和鲁斯-胡尔维茨判据，以及非线性系统和非自治系统的稳定性分析。

• 关于参数和初始值的导数： 讨论了微分方程解对初始值和参数的导数，以及它们在数值计算中的应用。P105

• 边值问题和本征值问题： 简要介绍了边值问题和本征值问题的解法，以及它们在物理和工程中的应用。

• 周期解、极限环和奇怪吸引子： 讨论了周期解、极限环和奇怪吸引子的概念，以及它们在动力系统中的应用。P14

第二部分：龙格-库塔法和外推法

• 初龙方法： 介绍了初龙方法的基本原理，以及四阶方法的讨论和“最优”公式。

• 龙格-库塔方法的阶条件： 讨论了龙格-库塔方法的阶条件，包括真解的导数、泰勒展开和数值解的导数。

• 龙格-库塔方法的误差估计和收敛性： 介绍了龙格-库塔方法的误差估计和收敛性理论，包括严格误差界和全局误差估计。

• 实际误差估计和步长选择： 讨论了实际误差估计和步长选择，包括理查德森外推、嵌入式龙格-库塔公式和自动步长控制。

• 高阶显式龙格-库塔方法： 介绍了高阶显式龙格-库塔方法，包括布查尔屏障、六阶五阶过程和嵌入式公式。

• 密集输出、间断点和导数： 讨论了密集输出、间断点和导数的数值计算，以及事件定位和连续多姆兰德-普林斯对。

• 隐式龙格-库塔方法： 介绍了隐式龙格-库塔方法，包括数值解的存在性、康图曼和布查尔二阶方法以及基于洛巴托求积的隐式龙格-库塔方法。

• 外推法： 介绍了外推法，包括艾特金-内维尔算法、格里格方法和高阶显式龙格-库塔方法的存在性。

• 数值比较： 比较了不同数值方法的性能，包括代码的性能、ODEX 中的步长序列的影响和DOP853 的“拉伸”误差估计器。

• 并行方法： 介绍了并行龙格-库塔方法，包括并行方法和并行迭代龙格-库塔方法，以及外推法和可靠性提高。

• B 级数的组合： 讨论了 B 级数的组合，包括龙格-库塔方法的组合和B 级数。

• 高阶导数方法： 介绍了高阶导数方法，包括求积方法和赫尔米特-奥布雷什科夫方法。

• 二阶微分方程的数值方法： 讨论了二阶微分方程的数值方法，包括尼斯特罗姆方法和外推法。

• 分区微分方程的 P 级数： 介绍了分区微分方程的 P 级数，包括精确解的导数、P 级数和阶条件。

• 辛积分方法： 介绍了辛积分方法，包括辛龙格-库塔方法、辛分割方法和辛尼斯特罗姆方法，以及哈密顿量的守恒和反向分析。

• 延迟微分方程： 讨论了延迟微分方程的解法，包括存在性、稳定性、传染病建模和酶动力学模型。

第三部分：单步法和通用线性方法

• 经典线性单步公式： 介绍了经典线性单步公式，包括显式亚当斯方法、隐式亚当斯方法、显式尼斯特罗姆方法、米尔斯-辛普森方法和基于微分（BDF）的方法。

• 局部误差和阶条件： 讨论了单步方法的局部误差和阶条件，包括局部误差、阶、误差常数和不可约方法。

• 稳定性和第一达耳奎斯特屏障： 讨论了 BDF 公式的稳定性和单步方法的最高可达到的阶。

• 单步法的收敛性： 介绍了单步法的收敛性理论，包括将单步公式表示为一阶方法和对收敛性的证明。

• 变步长单步法： 讨论了变步长单步法，包括变步长亚当斯方法、变步长 BDF 方法和通用变步长方法。

• 诺德西克方法： 介绍了诺德西克方法，包括与单步方法的等价性、隐式亚当斯方法和 BDF 方法。

• 实现和数值比较： 讨论了单步方法的实现和数值比较，包括步长和阶的选择，以及一些可用的代码和数值比较结果。

• 通用线性方法： 介绍了通用线性方法，包括一般积分程序、稳定性和阶、收敛性、阶条件构造和通解。

• 二阶微分方程的单步法： 讨论了二阶微分方程的单步法，包括显式斯图默方法、隐式斯图默方法和数值示例。

• 全局误差的渐近展开： 讨论了全局误差的渐近展开，包括一个有教育意义的例子、严格稳定方法的渐近展开、弱稳定方法和伴随方法。

附录：

• Fortran 代码：提供了书中数值方法的 Fortran 代码，包括 DOPRI5、DOP853、ODEX、RECORD 和 RETARD。

总而言之，这本书提供了常微分方程的经典理论和数值解法的全面介绍，特别是针对非刚性问题的解法。它包含了大量的理论和数值例子，以及 Fortran 代码，对于学习常微分方程数值解法的读者来说是一本非常有价值的参考书。

一部分：经典数学理论

• 第一章： 从历史角度回顾了微分方程的发展，介绍了早期微分方程的解法，以及经典积分方法，如泰勒级数、数值积分和初等函数。

• 第二章： 讨论了微分方程解的存在性和唯一性，以及解的性质，如连续性、可微性和稳定性。还介绍了辛积分和哈密顿力学。

• 第三章： 介绍了微分不等式，以及它们在估计误差和证明解的存在唯一性方面的应用。

• 第四章： 研究了线性微分方程组的解法，包括解的估计和唯一性，以及特征值问题和克莱姆法则。

• 第五章： 讨论了具有常数系数的线性微分方程组的解法，包括线性化、对角化和舒尔分解。

• 第六章： 介绍了稳定性理论，包括李雅普诺夫函数和鲁斯-胡尔维茨判据，以及非线性系统和非自治系统的稳定性分析。

• 第七章： 讨论了微分方程解对初始值和参数的导数，以及它们在数值计算中的应用。

• 第八章： 简要介绍了边值问题和本征值问题的解法，以及它们在物理和工程中的应用。

• 第九章： 讨论了周期解、极限环和奇怪吸引子的概念，以及它们在动力系统中的应用。

第二部分：龙格-库塔法和外推法

• 第二章： 介绍了初龙方法的基本原理，以及四阶方法的讨论和“最优”公式。

• 第三章： 讨论了龙格-库塔方法的阶条件，包括真解的导数、泰勒展开和数值解的导数。

• 第四章： 介绍了龙格-库塔方法的误差估计和收敛性理论，包括严格误差界和全局误差估计。

• 第五章： 讨论了实际误差估计和步长选择，包括理查德森外推、嵌入式龙格-库塔公式和自动步长控制。

• 第六章： 介绍了高阶显式龙格-库塔方法，包括布查尔屏障、六阶五阶过程和嵌入式公式。

• 第七章： 讨论了密集输出、间断点和导数的数值计算，以及事件定位和连续多姆兰德-普林斯对。

• 第八章： 介绍了隐式龙格-库塔方法，包括数值解的存在性、康图曼和布查尔二阶方法以及基于洛巴托求积的隐式龙格-库塔方法。

• 第九章： 介绍了外推法，包括艾特金-内维尔算法、格里格方法和高阶显式龙格-库塔方法的存在性。

• 第十章： 比较了不同数值方法的性能，包括代码的性能、ODEX 中的步长序列的影响和DOP853 的“拉伸”误差估计器。

• 第十一章： 介绍了并行龙格-库塔方法，包括并行方法和并行迭代龙格-库塔方法，以及外推法和可靠性提高。

• 第十二章： 讨论了 B 级数的组合，包括龙格-库塔方法的组合和B 级数。

• 第十三章： 介绍了高阶导数方法，包括求积方法和赫尔米特-奥布雷什科夫方法。

• 第十四章： 讨论了二阶微分方程的数值方法，包括尼斯特罗姆方法和外推法。

• 第十五章： 介绍了分区微分方程的 P 级数，包括精确解的导数、P 级数和阶条件。

• 第十六章： 介绍了辛积分方法，包括辛龙格-库塔方法、辛分割方法和辛尼斯特罗姆方法，以及哈密顿量的守恒和反向分析。

• 第十七章： 讨论了延迟微分方程的解法，包括存在性、稳定性、传染病建模和酶动力学模型。

第三部分：单步法和通用线性方法

• 第一章： 介绍了经典线性单步公式，包括显式亚当斯方法、隐式亚当斯方法、显式尼斯特罗姆方法、米尔斯-辛普森方法和基于微分（BDF）的方法。

• 第二章： 讨论了单步方法的局部误差和阶条件，包括局部误差、阶、误差常数和不可约方法。

• 第三章： 讨论了 BDF 公式的稳定性和单步方法的最高可达到的阶。

• 第四章： 介绍了单步法的收敛性理论，包括将单步公式表示为一阶方法和对收敛性的证明。

• 第五章： 讨论了变步长单步法，包括变步长亚当斯方法、变步长 BDF 方法和通用变步长方法。

• 第六章： 介绍了诺德西克方法，包括与单步方法的等价性、隐式亚当斯方法和 BDF 方法。

• 第七章： 讨论了单步方法的实现和数值比较，包括步长和阶的选择，以及一些可用的代码和数值比较结果。

• 第八章： 介绍了通用线性方法，包括一般积分程序、稳定性和阶、收敛性、阶条件构造和通解。

• 第九章： 讨论了二阶微分方程的单步法，包括显式斯图默方法、隐式斯图默方法和数值示例。

• 第十章： 讨论了全局误差的渐近展开，包括一个有教育意义的例子、严格稳定方法的渐近展开、弱稳定方法和伴随方法。

附录：

• Fortran 代码：提供了书中数值方法的 Fortran 代码，包括 DOPRI5、DOP853、ODEX、RECORD 和 RETARD。

总结：

这本书涵盖了常微分方程的经典理论和数值解法的广泛主题，提供了大量的理论和数值例子，以及 Fortran 代码。它对于学习常微分方程数值解法的读者来说是一本非常有价值的参考书，对于希望深入了解微分方程解的性质和解法的工程师和科学家来说也是一个重要的资源这本书名为《常微分方程求解：非刚性问题》，但其中确实包含了与偏微分方程 (PDE) 相关的丰富内容，尤其是将 PDE 转换为 ODE 进行求解的方法。

以下是书中与 PDE 相关的关键点：

• 偏微分方程的定义和分类： 介绍了偏微分方程的概念，并分类了不同类型的 PDE，如椭圆型、抛物型和双曲型方程。

• 偏微分方程的数值解法： 讨论了 PDE 的数值解法，包括有限差分法、有限元法和边界元法。

• 将 PDE 转换为 ODE： 介绍了将 PDE 转换为 ODE 进行求解的方法，例如：

  • 线性的“方法线”： 将偏微分方程在空间离散化，例如使用有限差分或有限元方法，然后将每个空间网格点上的 PDE 转换为一组 ODE 进行求解。P16

  • 时间离散化方法： 将偏微分方程在时间离散化，例如使用欧拉法、龙格-库塔法等，然后将每个时间步上的 PDE 转换为一组 ODE 进行求解。

• 与 PDE 相关的数值方法： 讨论了与 PDE 相关的数值方法，例如：

  • 辛积分方法： 适用于辛 PDE 的数值解法，可以保持 PDE 的辛结构。

  • 延迟微分方程方法： 适用于具有延迟项的 PDE，例如传染病模型。

因此，这本书对于学习 PDE 数值解法的人来说，仍然具有很大的价值。它可以帮助读者理解 PDE 数值解法的基本原理，并了解如何将 PDE 转换为 ODE 进行求解。

需要注意的是，这本书的重点仍然是 ODE 的数值解法，因此它可能没有涵盖 PDE 数值解法的所有细节。如果您需要更深入的了解 PDE 数值解法，建议您阅读专门针对 PDE 的教材或研究论文