P1734 最大约数和 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

题目描述

选取和不超过 S 的若干个不同的正整数，使得所有数的约数（不含它本身）之和最大。

输入格式

输入一个正整数 S。

输出格式

输出最大的约数之和。

输入输出样例

输入 #1复制

11

输出 #1复制

9

说明/提示

【样例说明】

取数字 4 和 6，可以得到最大值 (1+2)+(1+2+3)=9。

【数据规模】

对于 100% 的数据，1≤S≤1000。

思路：

题目的意思是选取诺干个数，这些数之和小于n，求出这些数的约数最大和。

我们预处理把每个数的约数写出来。然后就是背包问题了。

注意只有dp会满分

代码如下：

暴力：

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2001;
ll cnt[N];
ll num[N];
ll n;
int is_number(ll x)
{int sum = 0;for(ll i = 1 ; i < x ; i++){if(x % i == 0)sum += i;}return sum;
}
ll dfs(ll x,ll sp)
{if(x > n-1)return 0;if(sp >= num[x])return max(dfs(x+1,sp-num[x])+cnt[x],dfs(x+1,sp));elsereturn dfs(x+1,sp);}int main()
{cin >> n;for(ll i = 1 ; i <= n-1 ; i++){cnt[i] += is_number(i);//求出1~n-1的各个约数之和 
//    	cout << i << "的约数之和:" << arr[i] << endl;num[i] = i; }cout << dfs(1,n);return 0;}

记忆化搜索：

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2001;
ll cnt[N];
ll num[N];
ll n;
ll mem[N][N];
int is_number(ll x)
{int sum = 0;for(ll i = 1 ; i < x ; i++){if(x % i == 0)sum += i;}return sum;
}
ll dfs(ll x,ll sp)
{ll sum = -1e9;if(mem[x][sp])return mem[x][sp];if(sp <= 0)return 0;if(x > n-1)return 0;if(sp >= num[x])sum = max(dfs(x+1,sp-num[x]) + cnt[x],dfs(x+1,sp));elsesum = dfs(x+1,sp);mem[x][sp] = sum;return sum;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;for(ll i = 1 ; i < n ; i++){cnt[i] += is_number(i);//求出1~n-1的各个约数之和 
//    	cout << i << "的约数之和:" << arr[i] << endl;num[i] = i; }cout << dfs(1,n);return 0;}

dp：
 

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2001;
ll cnt[N];
ll num[N];
ll n;
ll f[N][N];
int is_number(ll x)
{int sum = 0;for(ll i = 1 ; i < x ; i++){if(x % i == 0)sum += i;}return sum;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;for(ll i = 1 ; i < n ; i++){cnt[i] += is_number(i);//求出1~n-1的各个约数之和 
//    	cout << i << "的约数之和:" << arr[i] << endl;num[i] = i; }for(ll i = n-1 ; i >= 1 ; i--){for(ll j = 0 ; j <= n ; j++){if(j >= num[i])f[i][j] =  max(f[i+1][j-num[i]] + cnt[i],f[i+1][j]);elsef[i][j] = f[i+1][j]; 	}	}cout << f[1][n];return 0;}