目录
1. 什么是递归
1.1 递归的思想：
1.2 递归的限制条件
2. 递归的限制条件
2.1 举例1：求n的阶乘
2.1.1 分析和代码实现
2.1.2 画图推演
2.2 举例2：顺序打印⼀个整数的每⼀位
2.2.1 分析和代码实现
2.2.2 画图推演
3. 递归与迭代
1. 什么是递归
递归是学习C语⾔函数绕不开的⼀个话题，那什么是递归呢？递归其实是⼀种解决问题的⽅法，在C语⾔中，递归就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰。写⼀个史上最简单的C语⾔递归代码：
#include <stdio.h>
int main()
{
printf("hehe\n");
main();//main函数中⼜调⽤了main函数
return 0;
}上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上⾯的递归只是为了演⽰递归的基本形式，不是为了解决问题，代码最终也会陷⼊死递归，导致栈溢出（Stack overflow）。
1.1 递归的思想：
把⼀个⼤型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的⼦问题来求解；直到⼦问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把⼤事化⼩的过程。递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思，接下来慢慢来体会。
1.2 递归的限制条件
递归在书写的时候，有2个必要条件：•递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。•每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。在下⾯的例⼦中，我们逐步体会这2个限制条件。
2. 递归的限制条件
2.1 举例1：求n的阶乘
⼀个正整数的阶乘（factorial）是所有⼩于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。⾃然数n的阶乘写作 n!。题⽬：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。
2.1.1 分析和代码实现
n的阶乘的公式： n ！ = n ∗ ( n − 1)!
举例：
5! = 5*4*3*2*1
4! = 4*3*2*1
所以:5! = 5*4!从这个公式不难看出：如何把⼀个较⼤的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。n的阶乘和n-1的阶乘是相似的问题，但是规模要少了n。有⼀种有特殊情况是：当 n==0 的时候，n的阶乘是1，⽽其余n的阶乘都是可以通过上⾯的公式计算。这样就能写出 n 的阶乘的递归公式如下：
那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶乘，函数如下：
int Fact(int n)
{
if(n==0)
return 1;
else
return n*Fact(n-1);
}#include <stdio.h>
int Fact(int n)
{
if(n==0)
return 1;
else
return n*Fact(n-1);
}
int main()
{
int n = 0;
scanf("%d", &n);
int ret = Fact(n);16 printf("%d\n", ret);
17 return 0;
18 }运⾏结果（这⾥不考虑n太⼤的情况，n太⼤存在溢出）：
2.1.2 画图推演
2.2 举例2：顺序打印⼀个整数的每⼀位
输⼊⼀个整数m，按照顺序打印整数的每⼀位。 ⽐如： 输⼊：1234输出：1234 输⼊：520输出：520
2.2.1 分析和代码实现
这个题⽬，放在我们⾯前，⾸先想到的是，怎么得到这个数的每⼀位呢？ 如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n⾃⼰ n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推 不断的 %10 和 /10 操作，直到1234的每⼀位都得到； 但是这⾥有个问题就是得到的数字顺序是倒着的 但是我们有了灵感，我们发现其实⼀个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到 那我们假设想写⼀个函数Print来打印n的每⼀位，如下表⽰：
Print(n)
如果n是1234，那表⽰为
Print(1234) //打印1234的每⼀位
其中1234中的4可以通过%10得到，那么
Print(1234)就可以拆分为两步：
1. Print(1234/10) //打印123的每⼀位
2. printf(1234%10) //打印4
完成上述2步，那就完成了1234每⼀位的打印
那么Print(123)⼜可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)
以此类推下去，就有
Print(1234)
==>Print(123) + printf(4)
==>Print(12) + printf(3)
==>Print(1) + printf(2)
==>printf(1)
直到被打印的数字变成⼀位数的时候，就不需要再拆分，递归结束。 那么代码完成也就⽐较清楚：
void Print(int n)
{if(n>9){Print(n/10);}printf("%d ", n%10);
}
int main()
{int m = 0;scanf("%d", &m);Print(m);return 0;
}
在这个解题的过程中，我们就是使⽤了⼤事化⼩的思路 把Print(1234)打印1234每⼀位，拆解为⾸先Print(123)打印123的每⼀位，再打印得到的4 把Print(123)打印123每⼀位，拆解为⾸先Print(12)打印12的每⼀位，再打印得到的3 直到Print打印的是⼀位数，直接打印就⾏。
2.2.2 画图推演
以1234每⼀位的打印来推演⼀下
3. 递归与迭代
递归是⼀种很好的编程技巧，但是和很多技巧⼀样，也是可能被误⽤的，就像举例1⼀样，看到推导的 公式，很容易就被写成递归的形式：
int Fact(int n)
{if(n==0)return 1;elsereturn n*Fact(n-1);
}
Fact函数是可以产⽣正确的结果，但是在递归函数调⽤的过程中涉及⼀些运⾏时的开销。 在C语⾔中每⼀次函数调⽤，都需要为本次函数调⽤在内存的栈区，申请⼀块内存空间来保存函数调 ⽤期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运⾏时堆栈，或者函数栈帧。 函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占⽤，所以如果函数调⽤中存在递归调⽤的话，每⼀次递归 函数调⽤都会开辟属于⾃⼰的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。 所以如果采⽤函数递归的⽅式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢 出（stackoverflow）的问题。
所以如果不想使⽤递归，就得想其他的办法，通常就是迭代的⽅式（通常就是循环的⽅式）。 ⽐如：计算n的阶乘，也是可以产⽣1~n的数字累计乘在⼀起的。
int Fact(int n)
{int i = 0;int ret = 1;for(i=1; i<=n; i++){ret *= i;}return ret;
}上述代码是能够完成任务，并且效率是⽐递归的⽅式更好的。 事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进⾏解释的，这只是因为它⽐⾮递归的形式更加清晰， 但是这些问题的迭代实现往往⽐递归实现效率更⾼。 当⼀个问题⾮常复杂，难以使⽤迭代的⽅式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运 ⾏时开销。
举例3：求第n个斐波那契数
我们也能举出更加极端的例⼦，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使⽤递归求解的，但是斐波那契 数的问题通过是使⽤递归的形式描述的，如下：
看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所⽰：
int Fib(int n)
{if(n<=2)return 1;elsereturn Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
#include <stdio.h>
int main()
{int n = 0;scanf("%d", &n);int ret = Fib(n);printf("%d\n", ret); return 0;
}
当我们n输⼊为50的时候，需要很⻓时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的， 这也说明递归的写法是⾮常低效的，那是为什么呢？
其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计 算，⽽且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以作业测试：
#include <stdio.h>
int count = 0;
int Fib(int n)
{if(n == 3)count++;//统计第3个斐波那契数被计算的次数 if(n<=2)return 1;elsereturn Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
int main()
{int n = 0;scanf("%d", &n);int ret = Fib(n);printf("%d\n", ret); printf("\ncount = %d\n", count);return 0;
}
这⾥我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使⽤递归⽅式，第3个斐波那契数就被重复计算了 39088169次，这些计算是⾮常冗余的。所以斐波那契数的计算，使⽤递归是⾮常不明智的，我们就得 想迭代的⽅式解决。 我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从⼩到⼤计 算就⾏了。 这样就有下⾯的代码：
int Fib(int n)
{int a = 1;int b = 1;int c = 1;while(n>2){c = a+b;a = b;b = c;n--;}return c;
}
迭代的⽅式去实现这个代码，效率就要⾼出很多了。有时候，递归虽好，但是也会引⼊⼀些问题，所以我们⼀定不要迷恋递归，适可⽽⽌就好。
拓展学习： • ⻘蛙跳台阶问题 • 汉诺塔问题 以上2个问题都可以使⽤递归很好的解决，有兴趣可以研究。
