线性回归参数计算（Finding Linear Regression Parameters）

1. 简介

线性回归是一种基础的回归模型，用于通过一个或多个特征预测目标变量。其模型形式为：

其中：

• y：目标变量（因变量）。
• X：特征矩阵（自变量）。
• β：待求解的回归参数（权重）。
• ϵ：误差项。

线性回归的目标是找到回归参数 β，使预测值 Xβ 与目标 y 的差距最小。

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2. 参数求解公式

通过最小化残差平方和（RSS，Residual Sum of Squares）来确定最佳参数。RSS 定义为：

展开后：

2.1 最小化 RSS 的闭式解

对 RSS 关于 β 求导并令其为 0：

解得：

2.2 特殊情况

• 当 不可逆（如特征之间高度相关），可以使用伪逆 () 计算参数：

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3. 梯度下降法

如果特征数量较大或数据量较多，使用梯度下降法是一种更高效的选择。

1. 目标函数：

   

   其中 m 是样本数量。

2. 梯度计算：

   

3. 更新规则：

   

   其中：

   • α：学习率。

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4. 示例代码

4.1 使用闭式解求解参数

import numpy as np# 示例数据
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3]])  # 特征矩阵
y = np.array([1, 2, 2, 3])  # 目标变量# 添加截距项
X = np.hstack([np.ones((X.shape[0], 1)), X])# 计算参数
beta = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y
print("闭式解计算的参数：", beta)

运行结果 

闭式解计算的参数： [0. 0. 1.]

 

4.2 使用梯度下降法求解参数

import numpy as np# 示例数据
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3]])  # 特征矩阵
y = np.array([1, 2, 2, 3])  # 目标变量# 初始化参数
beta = np.zeros(X.shape[1])
learning_rate = 0.01
epochs = 1000# 梯度下降
for epoch in range(epochs):gradient = -1 / len(y) * X.T @ (y - X @ beta)beta -= learning_rate * gradientprint("梯度下降计算的参数：", beta)

 运行结果

梯度下降计算的参数： [0.17636561 0.86974083]

 

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5. 参数解释

1. ：

   • 截距项，表示当所有特征值为 0 时的预测值。

2. ：

   • 每个特征的系数，表示该特征对目标变量的线性影响。值越大，影响越显著。

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6. 优化方法

1. 正则化：

   • 为了避免过拟合，可加入正则化项：
     • 岭回归（L2正则化）：
     • Lasso回归（L1正则化）：

2. 标准化：

   • 特征标准化（零均值和单位方差）可提升求解效率。

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7. 总结

线性回归参数的求解有两种主要方法：

1. 闭式解：适用于中小规模数据，但计算复杂度较高。
2. 梯度下降：适用于大规模数据，通过迭代优化找到参数。

线性回归是回归分析中的基础方法，为其他复杂模型（如岭回归、Lasso回归和广义线性模型）提供了理论基础。