大家好，这里是好评笔记，公主号：Goodnote，专栏文章私信限时Free。本笔记介绍深度学习中常见的正则化。
正则化
L1 正则化（Lasso）
原理
L1正则化通过在损失函数中加入权重的绝对值和来约束模型复杂度。其目标函数为：
min ( 1 2 m ∑ i = 1 m ( y i − y ^ i ) 2 + λ ∑ j = 1 n ∣ w j ∣ ) \min \left( \frac{1}{2m} \sum_{i = 1}^{m} (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j = 1}^{n} |w_j| \right) min(2m1i=1∑m(yi−y^i)2+λj=1∑n∣wj∣)
其中， λ \lambda λ是正则化强度， w j w_j wj是第 j j j个特征的权重。
使用场景
- 特征选择：L1 正则化能够将部分不重要的特征权重缩减为 0，从而实现特征选择。
- 高维稀疏数据集：如基因数据分析，模型能够自动去除无关特征。
优缺点
- 优点：生成稀疏解，易于解释，自动选择重要的特征。
- 缺点：对特征高度相关的数据，随机选择特征，模型不稳定。
L2 正则化（Ridge）
原理
L2正则化通过在损失函数中加入权重的平方和来约束模型复杂度。其目标函数为：
min ( 1 2 m ∑ i = 1 m ( y i − y ^ i ) 2 + λ ∑ j = 1 n w j 2 ) \min \left( \frac{1}{2m} \sum_{i = 1}^{m} (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j = 1}^{n} w_j^2 \right) min(2m1i=1∑m(yi−y^i)2+λj=1∑nwj2)
其中， λ \lambda λ是正则化强度， w j w_j wj是第 j j j个特征的权重。
使用场景
- 多重共线性问题：在特征间存在多重共线性的情况下，L2 正则化能够减小模型方差，防止模型对数据的过拟合。
- 回归任务：如岭回归（Ridge Regression）中常用来提升模型鲁棒性。
优缺点
- 优点：防止模型过拟合，能有效处理特征多重共线性问题。
- 缺点：不能进行特征选择，所有特征权重都被减小。
Elastic Net 正则化
定义
Elastic Net 是 L1 和 L2 正则化的结合，它同时引入了 L1 和 L2 正则化项，在获得稀疏解的同时，保持一定的平滑性。
公式
J ElasticNet ( θ ) = J ( θ ) + λ 1 ∑ i ∣ θ i ∣ + λ 2 ∑ i θ i 2 J_{\text{ElasticNet}}(\theta) = J(\theta) + \lambda_1 \sum_{i} |\theta_i| + \lambda_2 \sum_{i} \theta_i^2 JElasticNet(θ)=J(θ)+λ1i∑∣θi∣+λ2i∑θi2
其中， λ 1 \lambda_1 λ1和 λ 2 \lambda_2 λ2控制L1和L2正则化的权重。
优点
- 结合了 L1 和 L2 正则化的优点，既能够稀疏化模型，又不会完全忽略相关性特征。
- 对高维数据和特征之间存在高度相关性的数据表现良好。
缺点
- 相比于单独使用 L1 或 L2 正则化，它有更多的超参数需要调节。
应用场景
- 常用于具有高维特征的数据集，特别是在需要稀疏化的同时，又不希望完全丢失特征之间相关性的信息。
Dropout
原理
Dropout 是一种用于深度神经网络的正则化方法。训练过程中，Dropout 随机将部分神经元的输出设置为 0，防止神经元对特定特征的依赖，从而提升模型的泛化能力。类似集成学习，每次生成的都不一样。丢弃概率 (p)，通常设置为 0.2 到 0.5。
使用场景
- 深度神经网络：在深度学习中广泛应用，如卷积神经网络（CNN）、循环神经网络（RNN）等。
- 避免过拟合：尤其在模型复杂、训练数据较少的场景中，能够有效降低过拟合风险。
优缺点
- 优点：有效防止过拟合，提升模型鲁棒性。
- 缺点：训练时间较长，推理过程中不适用。
早停法（Early Stopping）
原理
早停法是一种防止模型过拟合的策略。在训练过程中，监控验证集的误差变化，当验证集误差不再降低时，提前停止训练，防止模型过拟合到训练数据。
使用场景
优缺点
- 优点：简单有效，能够动态调节训练过程。
- 缺点：需要合理设置停止条件，可能导致模型欠拟合。
Batch Normalization (BN)
虽然 Batch Normalization（BN）通常被认为是一种加速训练的技巧，但它也有正则化的效果。BN 通过对每一批次的输入进行归一化，使得模型训练更加稳定，防止过拟合。
原理
BN 通过将每个批次的激活值标准化为均值为 0，方差为 1，然后通过可学习的缩放和平移参数恢复特征分布。由于批次间的变化引入了一定的噪声，这对模型有一定的正则化作用。
使用场景
- 广泛应用于卷积神经网络（CNN）和全连接网络（FCN）中。
优点
- 提升训练速度，并有一定的正则化效果。
- 适合卷积神经网络和全连接神经网络，能有效减少过拟合。
缺点
- 在小批量训练时效果不稳定。
- 引入了额外的计算开销。
权重衰减（Weight Decay）
权重衰减是一种通过直接对权重进行衰减的正则化方法，它等价于 L2 正则化。
原理
在每次权重更新时，加入一个权重衰减项，使得权重参数逐渐减小，从而防止权重变得过大，减少模型的复杂度。
权重衰减直接在梯度更新中对权重施加一个额外的缩减项，而不需要在损失函数中添加正则化项。也就是说，权重衰减是通过直接操作梯度更新公式中的权重来实现的。
公式：
θ = θ − α ⋅ ∂ L data ∂ θ − α λ θ \theta = \theta - \alpha \cdot \frac{\partial L_{\text{data}}}{\partial \theta} - \alpha \lambda \theta θ=θ−α⋅∂θ∂Ldata−αλθ
其中：
- α \alpha α是学习率。
- λ \lambda λ是权重衰减系数。
- θ \theta θ是模型的权重。
其中 λ 是正则化系数，控制惩罚项的强度。该惩罚项会在每次梯度更新时对权重施加一个减小的力度，从而限制权重的增长。
L2正则化和权重衰减目标一致、数学形式相似，但是并不是同一种手段：
实现方式：
- L2 正则化：在传统的 L2 正则化中，惩罚项是直接添加在损失函数中。因此，反向传播时会计算这个惩罚项的梯度，并将它加入到权重的更新中。优化器仅对
Loss求导。- 权重衰减：在权重衰减中，惩罚项不直接添加到损失函数中，而是在梯度更新时作为一个附加的“权重缩小”操作。在每次更新时，优化器会自动将权重按比例缩小。例如，对于SGD 优化器，权重更新公式变成：
w = w − α ⋅ ∂ L loss ∂ w − α ⋅ λ ⋅ w w = w - \alpha \cdot \frac{\partial L_{\text{loss}}}{\partial w} - \alpha \cdot \lambda \cdot w w=w−α⋅∂w∂Lloss−α⋅λ⋅w- 这里， α ⋅ λ ⋅ w \alpha \cdot \lambda \cdot w α⋅λ⋅w是直接对权重施加的缩小因子，而不影响梯度方向。
优化器依赖：
- L2 正则化：不依赖于特定的优化器。正则项直接通过损失函数梯度传播，适用于所有优化器。
- 权重衰减：有些优化器（如 AdamW）在实现时将权重衰减项独立处理，而不会将其纳入损失的反向传播中。
使用场景
- 与 SGD 等优化器配合使用效果较好，尤其适用于大型神经网络，可以防止权重过大导致的过拟合。对于 Adam 优化器，建议使用 AdamW 版本来获得更合适的权重衰减效果。
优点
- 类似于 L2 正则化，简单易用，有效减少过拟合。
缺点
- 与 L2 正则化非常相似，但在某些优化器（如 Adam）中，权重衰减的实现可能会与 L2 正则化略有不同。在这些情况下，直接使用 L2 正则化可能会更符合预期的效果。
剪枝（Pruning）
剪枝通常在模型训练完成后进行，作为一种后处理技术。例如决策树中的剪枝操作。
原理
剪枝通过删除神经网络中重要性较低的连接或神经元，减少模型规模，从而达到简化网络的目的。剪枝不仅可以减少计算量和存储需求，还能在一定程度上防止过拟合，使模型在推理时更加高效。
应用场景
- 移动和嵌入式设备：剪枝特别适用于资源受限的设备（如手机、嵌入式系统、物联网设备）上，以减小模型尺寸和降低推理时间。
- 深度学习模型加速：剪枝广泛用于加速深度神经网络的推理过程，特别是在需要实时处理的任务中，如自动驾驶、图像识别等。
- 大规模模型压缩：在大规模模型（如大规模卷积神经网络、语言模型）中，剪枝可以显著减少计算量，使得模型更高效地运行。
优点
- 减少模型复杂度：剪枝可以显著减少网络中的参数，降低计算和内存需求，使得模型更适合在资源有限的设备上（如移动设备、嵌入式系统）运行。
- 提高模型的泛化能力：通过移除不重要的权重和神经元，减少模型对特定数据特征的过拟合，从而提高泛化能力。
- 加速推理：剪枝后的模型由于参数减少，推理速度得到显著提升。
缺点
- 需要额外的剪枝步骤
- 可能影响模型性能：如果剪枝不当，可能会削弱模型的表现，模型的准确性可能会大幅下降。
- 需要重新训练：剪枝后的模型有时需要重新微调或训练，以恢复模型性能。
以下是关于常见正则化方法的总结表格：
| 正则化方法 | 原理 | 使用场景 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|---|
| L1 正则化 (Lasso) | 通过增加权重绝对值惩罚项，实现特征稀疏化，部分权重缩减为 0。 | 高维稀疏数据集，特征选择任务。 | 生成稀疏解，易于解释，自动选择重要的特征。 | 对特征高度相关的数据，可能随机选择特征，导致模型不稳定。 |
| L2 正则化 (Ridge) | 通过增加权重平方和惩罚项，减小权重大小，防止权重过大。 | 多重共线性问题、回归任务，如岭回归。 | 防止模型过拟合，处理特征多重共线性问题，模型更加鲁棒。 | 无法进行特征选择，所有特征权重都被减小。 |
| Elastic Net 正则化 | L1 和 L2 正则化结合，既稀疏化模型，又保留相关性特征。 | 高维特征的数据集，稀疏化和相关性特征共存的场景。 | 结合 L1 和 L2 优点，稀疏化与平滑化并存，适用于高维数据。 | 增加了超参数调节的复杂性。 |
| Dropout | 训练时随机丢弃部分神经元输出，防止神经元对特定特征的依赖，提升泛化能力。 | 深度神经网络，CNN、RNN，适合复杂模型或数据较少的场景。 | 有效防止过拟合，提升模型鲁棒性。 | 训练时间较长，推理时不适用。 |
| 早停法 (Early Stopping) | 监控验证集误差，验证集误差不再下降时提前停止训练，防止过拟合。 | 深度学习模型，梯度下降优化任务，如线性回归、逻辑回归。 | 简单有效，动态调节训练过程，减少过拟合。 | 需要合理设置停止条件，可能导致欠拟合。 |
| Batch Normalization (BN) | 对每一批次的输入进行归一化，保持训练过程中的稳定性，并有一定正则化效果。 | 卷积神经网络和全连接神经网络，适用于大批量训练。 | 加速训练，减少过拟合，提升模型稳定性。 | 小批量训练时效果不稳定，增加计算开销。 |
| 权重衰减 (Weight Decay) | 在每次权重更新时加入权重衰减项，防止权重过大，等价于 L2 正则化。 | 大规模神经网络，常与 SGD、AdamW 等优化器配合使用。 | 简单有效，减少过拟合，类似 L2 正则化。 | 与 L2 略有不同，某些优化器中的效果不同。 |
| 剪枝 (Pruning) | 训练后移除神经网络中不重要的连接或神经元，减少模型规模，降低计算量，提升泛化能力。 | 移动设备、嵌入式系统、大规模模型压缩，适合资源受限设备和加速任务。 | 减少模型复杂度，提升推理速度，适合资源受限设备。 | 需要额外剪枝步骤，可能影响模型性能，需要重新训练。 |
这个表格总结了常见的正则化方法，涵盖了其工作原理、使用场景、优点和缺点。根据具体任务和数据集，可以选择合适的正则化方法来提高模型的泛化能力和训练效率。
Q&A
权重归一化和权重衰减的异同
二者都作用于模型的权重。都是用来提升泛化能力。但是有下面的不同：
| 特性 | 权重归一化 | 权重衰减 |
|---|---|---|
| 主要目的 | 提升训练稳定性，帮助模型更快收敛 | 正则化，防止过拟合 |
| 实现方式 | 将权重分解为范数和方向 | 损失函数中增加 L2 正则化项，将权重缩小 |
| 应用位置 | 在使用权重归一化的层（例如卷积层或全连接层）中 | 在优化器的更新（如 SGD、Adam）步骤中，通过正则化参数应用 |
| 对梯度的影响 | 不影响权重的梯度更新计算 | 对每次权重更新施加惩罚，直接减小权重值 |
| 是否显式操作 | 是，对权重重参数化 | 否，通过损失函数中添加正则项间接实现 |
- 权重归一化：用于训练时提高稳定性和收敛速度，对权重进行重参数化分解，直接应用在层的权重上。
- 权重衰减：用于防止过拟合，对损失函数中的权重平方项施加惩罚，通过优化器在每次权重更新时施加影响。
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