解释平方和（Explained Sum of Squares, ESS）
定义
解释平方和（Explained Sum of Squares, ESS）是回归分析中用于衡量模型解释能力的一个重要指标。它表示模型通过自变量对因变量的解释程度。ESS 是因变量的预测值与其平均值之间差异的平方和，反映了模型可以解释的部分变异。
公式
假设：
：第 i 个样本的预测值。
：因变量 y 的平均值。
- n：样本数量。
平方和的计算公式为：
公式解释
：预测值与因变量均值之间的差距。
- 通过将这些差距平方并求和，ESS 衡量了模型的预测值偏离因变量均值的程度。
与其他平方和的关系
ESS 是回归总平方和（Total Sum of Squares, TSS）的一部分，满足以下关系：
其中：
是总平方和，表示因变量总的变异。
是残差平方和，表示模型未能解释的部分变异。
意义
- ESS 越大，说明模型解释的变异部分越多，拟合效果越好。
- 用于计算决定系数（
），评估模型拟合效果：
反映了因变量变异中被模型解释的比例，取值范围在 [0, 1]。
可视化解释
- 数据分布：因变量 y 的总变异由模型解释的变异（ESS）和模型未能解释的变异（RSS）组成。
- 回归直线：ESS 表示模型对因变量的拟合效果。
示例代码
以下代码展示如何计算 ESS、TSS 和 RSS，并计算 值。
import numpy as np# 模拟数据
y = np.array([3, -0.5, 2, 7]) # 实际值
y_pred = np.array([2.5, 0.0, 2, 8]) # 预测值# 计算均值
y_mean = np.mean(y)# 计算平方和
ESS = np.sum((y_pred - y_mean) ** 2) # 解释平方和
RSS = np.sum((y - y_pred) ** 2) # 残差平方和
TSS = np.sum((y - y_mean) ** 2) # 总平方和# 计算决定系数 R^2
R_squared = ESS / TSS# 输出结果
print(f"ESS: {ESS}")
print(f"RSS: {RSS}")
print(f"TSS: {TSS}")
print(f"R^2: {R_squared}")
输出结果
假设数据为上述代码中的 y 和 ，计算结果可能为：
ESS: 35.4375
RSS: 1.5
TSS: 29.1875
R^2: 1.214132762312634
总结
- ESS 衡量模型解释的变异部分，ESS 越大表示模型对数据的拟合能力越强。
- ESS 与 TSS 和 RSS 的关系提供了对模型性能的全面评估。
- 通过
