主成分分析（PCA）算法
主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的无监督降维算法，主要用于数据的特征提取和维度压缩。其目标是将高维数据映射到低维空间，同时尽可能保留数据的主要信息。
PCA的主要思想
- 寻找新的坐标轴（主成分），使数据在这些轴上的方差最大。
- 这些新坐标轴是数据的线性组合，并且彼此正交（无相关性）。
- 降维通过选择前 k 个方差最大的主成分实现。
PCA的数学原理
1. 数据标准化
为避免特征量纲（单位）对结果的影响，需要对原始数据进行标准化处理：
其中：
是原始数据的第 i 个样本在第 j 个特征上的值；
是第 j 个特征的均值；
是第 j 个特征的标准差。
2. 协方差矩阵
计算标准化数据的协方差矩阵 Σ ：
其中：
- X 是标准化后的数据矩阵；
- 协方差矩阵 Σ 的每个元素
表示特征 i 和特征 j 的协方差。
3. 特征分解
对协方差矩阵 Σ 进行特征值分解：
其中：
- λ 是特征值，表示数据在对应特征向量方向上的方差；
- v 是特征向量，表示主成分的方向。
按照特征值从大到小排序，选取前 k 个特征向量对应的主成分，构造变换矩阵 W 。
4. 数据降维
将原始数据 X映射到低维空间：
其中：
- Z 是降维后的数据；
- W 是由前 k 个特征向量组成的矩阵。
PCA算法步骤
- 输入：原始数据矩阵 X（m×n ，其中 m 是样本数，n 是特征数）。
- 数据标准化：对 X 的每个特征进行标准化。
- 计算协方差矩阵：计算标准化数据的协方差矩阵 Σ 。
- 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，获得特征值和特征向量。
- 选择主成分：按特征值从大到小排序，选择前 k 个主成分。
- 降维：将原始数据映射到主成分构成的低维空间。
PCA算法的Python实现
以下是PCA算法的实现代码：
python">import numpy as npdef pca(X, num_components):"""主成分分析（PCA）算法实现参数:X: 原始数据矩阵 (m, n)，m为样本数，n为特征数num_components: 要保留的主成分数返回:Z: 降维后的数据矩阵 (m, num_components)W: 主成分矩阵 (n, num_components)"""# 1. 数据标准化X_mean = np.mean(X, axis=0) # 均值X_std = np.std(X, axis=0) # 标准差X_normalized = (X - X_mean) / X_std# 2. 计算协方差矩阵covariance_matrix = np.cov(X_normalized, rowvar=False)# 3. 特征值分解eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(covariance_matrix)# 4. 按特征值从大到小排序sorted_indices = np.argsort(eigenvalues)[::-1]top_indices = sorted_indices[:num_components]top_eigenvectors = eigenvectors[:, top_indices]# 5. 数据降维Z = np.dot(X_normalized, top_eigenvectors)return Z, top_eigenvectors# 测试
if __name__ == "__main__":# 示例数据：4个样本，3个特征X = np.array([[2.5, 2.4, 3.5],[0.5, 0.7, 1.2],[2.2, 2.9, 3.1],[1.9, 2.2, 2.7]])num_components = 2Z, W = pca(X, num_components)print("降维后的数据：\n", Z)print("主成分矩阵：\n", W)
PCA的优点
- 减少数据维度，降低计算复杂度；
- 去除冗余特征，增强模型的泛化能力；
- 有效消除特征之间的相关性。
PCA的局限性
- PCA只考虑方差最大化，可能丢失对分类有意义的特征；
- PCA假设特征与均值的线性关系，不适用于非线性数据；
- 对数据的标准化敏感。
