A. 动机

在进化计算领域，反馈信息的利用对搜索算法的性能有重要影响[59]-[62]。基于差分进化（DE）的发展过程，人们普遍认为，信息的使用越广泛和全面，DE变体的性能就越优越[25]，[28]。例如，变异算子current-to-pbest/1，在JADE[50]，SHADE[49]和LSHADE[48]中广泛使用，与原始DE中应用的DE/rand/1相比，它增加了关于种群中最佳个体的信息，从而大大提高了算法的搜索效率。

变异策略current-to-pbest/1可以公式化为：

$V_i^t=X_i^t+F_i(X_{pbest}^t-X_i^t)+F_i(X_{r1}^t-X_{r2}^t)(7)$

其中，个体$X_{pbest}^t$是从前NP×p个个体中随机挑选的，这些个体在第t次迭代中根据计算出的适应度排名。在之前的研究中，$p=0.11[49],[50]$。r1和r2是从集合 { 1 , 2 , … , N P } \{1, 2, \ldots, NP\} {1,2,…,NP}中随机选择的两个值，且r1, r2和i不相等。$F_i$是一个比例参数，用于控制种群的搜索范围。因此，在本研究中，我们尝试重用信息反馈来提高算法运行期间的搜索性能。信息的利用主要有两种方式：1）利用种群的整体信息，2）利用差分向量的方向。

B. 复用种群的整体信息

根据方程(7)，由种群中随机选择的两个个体产生的差分向量$V_i^t$可以向目标向量提供灵活的移动。然而，由于一部分种群可能不会被选中，因此随机选择操作无法完全利用种群的信息。这导致算法倾向于过早收敛到局部最优解。为了解决这个问题，我们提出了一种新颖的整体信息利用策略，可以如下实现：

$V_i^t=X_i^t+F_i(X_{pbest}^t-X_i^t)+F_i(X_{r1}^t-Y_i^t)(8)$

其中 $Y_i^t$ 来自外部存档，用于保持种群的多样性，$X_i^t,X_{pbest}^t$和$X_{r1}^t$ 来自主要进化种群。值得注意的是，外部存档最初也是随机初始化的。以下是变异和交叉操作。存档通过以下方式更新：
$Y_i^{t+1}=\{\begin{array}{ll}{U}_i^t,& \text{if }f(U_i^t)<f(Y_i^t)\\ Y_i^t,& \text{otherwise}\end{array}(9)$

其中 $r_i$ 是从集合 { 1 , 2 , … , N P } \{1, 2, \ldots, NP\} {1,2,…,NP}随机选择的。

备注1：由于外部存档中的所有$r_i(i=1,2,\dots ,NP$是随机排列而不是随机整数，种群中的所有个体都有机会参与迭代。因此，可以利用种群的整体信息。

备注2：由于所有的$r_i$都是随机排列，尾向量 $U_i^t$ 不能保证与其对应的目标向量$Y_i^t$进行比较。相反，它与种群范围的目标向量进行比较。这样可以保持人口统计多样性。

C. 重用差分向量的方向

由于早期的DE变体很少探索差分向量的方向信息，这对其搜索性能至关重要[63]，本研究提供了一种简单而有效的方向信息利用策略，如方程(10)所述：

$V_i^t=X_i^t+F_i(X_{r1}^t-X_i^t)+G(\alpha ,\beta ,\zeta )F_i(X_{pbest}^t-Y_i^t(10)$

$G(\alpha ,\beta ,\zeta )=g(f(X_{r1}^t),f(X_{pbest}^t),f(Y_i^t))(11)$

方向控制函数$G(\alpha ,\beta ,\zeta )$由其变量之间的关系定义，如下所示：

G ( ) = { 1 , if  α ≤ β ≤ ζ or  β ≤ α ≤ ζ 1 , if rand ( 0 , 1 ) ≥ Q and  { α ≤ ζ ≤ β or  ζ ≤ α ≤ β or  ζ ≤ β ≤ α } − 1 , if rand ( 0 , 1 ) < Q and  { α ≤ ζ ≤ β or  ζ ≤ α ≤ β or  ζ ≤ β ≤ α } − 1 , if rand ( 0 , 1 ) ≥ Q and  β ≤ ζ ≤ α 1 , if rand ( 0 , 1 ) < Q and  β ≤ ζ ≤ α ( 12 ) G() = \begin{cases} 1, & \text{if } \alpha \leq \beta \leq \zeta \text{ or } \beta \leq \alpha \leq \zeta \\ 1, & \text{if } \text{rand}(0,1) \geq Q \text{ and } \{\alpha \leq \zeta \leq \beta \text{ or } \zeta \leq \alpha \leq \beta \text{ or } \zeta \leq \beta \leq \alpha\} \\ -1, & \text{if } \text{rand}(0,1) < Q \text{ and } \{\alpha \leq \zeta \leq \beta \text{ or } \zeta \leq \alpha \leq \beta \text{ or } \zeta \leq \beta \leq \alpha\} \\ -1, & \text{if } \text{rand}(0,1) \geq Q \text{ and } \beta \leq \zeta \leq \alpha \\ 1, & \text{if } \text{rand}(0,1) < Q \text{ and } \beta \leq \zeta \leq \alpha \end{cases} \quad (12) G()=⎩ ⎨ ⎧​1,1,−1,−1,1,​if α≤β≤ζ or β≤α≤ζif rand(0,1)≥Q and {α≤ζ≤β or ζ≤α≤β or ζ≤β≤α}if rand(0,1)<Q and {α≤ζ≤β or ζ≤α≤β or ζ≤β≤α}if rand(0,1)≥Q and β≤ζ≤αif rand(0,1)<Q and β≤ζ≤α​(12)

其中$T_{\text{max}}$表示最大函数评估次数，$Q=\frac{6\times T}{T_{\text{max}}}$是一个阈值。

D. PAIDDE的剩余方面

在PAIDDE中，$V_i^t=(v_{i1}^t,v_{i2}^t,\dots ,v_{ij}^t,\dots ,v_{iD}^t)$是通过方程(10)生成的。然后，$U_i^t=(u_{i1}^t,u_{i2}^t,\dots ,u_{ij}^t,\dots ,u_{iD}^t)$是使用交叉操作生成的：

$u_{ij}^t=\{\begin{array}{ll}{v}_{ij}^t,& \text{if }\text{rand}(0,1)\le C_{ri}\text{ or }j=j_{\text{rand}}\\ x_{ij}^t,& \text{otherwise}\end{array}(13)$

其中 $X_i^t$ 与交叉率参数 $C_{ri}\in [0,1]$ 相连。然后，使用方程(6)中指示的选择操作创建一个进化的个体$X_i^{t+1}$。

备注3：在PAIDDE中，每个个体$X_i^t$都有自己的比例参数 $F_i$和交叉率参数$C_{ri}$，这可以通过一种方法论方式进行调整。

首先，生成两个矩阵 M F = { M F ( 1 ) , M F ( 2 ) , … , M F ( H ) } M_F = \{M_F(1), M_F(2), \ldots, M_F(H)\} MF​={MF​(1),MF​(2),…,MF​(H)} 和 M C r = { M C r ( 1 ) , M C r ( 2 ) , … , M C r ( H ) } M_{Cr} = \{M_{Cr}(1), M_{Cr}(2), \ldots, M_{Cr}(H)\} MCr​={MCr​(1),MCr​(2),…,MCr​(H)}，其中H是历史记忆条目的数量（先前的研究表明H = 5 是最有效的。$M_F$和$M_{Cr}$中的所有条目都初始化为0.5。在第 k次迭代中，当个体$X_i^{t+1}$根据方程(6)中的适应度被其尾向量替换时，该个体使用的 $F_i$ 和$C_{ri}$值分别记录在两个离散集合$S_F$和$S_{Cr}$中。然后，这些条目根据以下方式更新：
在图中，描述了更新记忆矩阵 ( M_F ) 和 ( M_{Cr} ) 的方法，以及如何基于这些矩阵生成参数 ( C_{ri} ) 和 ( F_i )。以下是图中内容的完整提取：

$M_F^{t+1}(k)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\sum }_{k=1}^{|S_F|}{w}_k{S}_F^2(k)}{{\sum }_{k=1}^{|S_F|}{w}_k{S}_F(k)},& \text{if }{S}_F\ne \varnothing \\ M_F^t(k),& \text{otherwise}\end{array}(14)$

$M_{Cr}^{t+1}(k)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\sum }_{k=1}^{|S_{Cr}|}{w}_k{S}_{Cr}(k)}{{\sum }_{k=1}^{|S_{Cr}|}{w}_k},& \text{if }{S}_{Cr}\ne \varnothing \\ M_{Cr}^t(k),& \text{otherwise}\end{array}(15)$

$w_k=\frac{|f(U_k^t)-f(X_k^t)|}{{\sum }_k|f(U_k^t)-f(X_k^t)|}(16)$

其中，索引值k记录了要更新的条目在记忆$M_F$ 和$M_{Cr}$中的位置，且$1\le k\le H$。最初，k被设置为1，之后每当插入新的记忆条目时递增。

基于$M_F$和 $M_{Cr}$，参数 $C_{ri}$和$F_i$生成如下：

$C_{ri}={\text{randn}}_i(M_{Cr}(r_i),0.1)(17)$

$F_i={\text{randc}}_i(M_F(r_i),0.1)(18)$

其中，种群的初始大小$N{P}_{\text{init}}$)设置为18D ，种群的最小数量$N{P}_{\text{min}}=4$。

算法1描述了PAIDDE的实现结构，包括以下步骤：

Xiaosi Li, Kaiyu Wang, Haichuan Yang, Sichen Tao, Shuai Feng, and Shangce Gao*, “PAIDDE: A Permutation-Archive Information Directed Differential Evolution Algorithm,” IEEE Access, vol. 10, pp. 50384-50402, May 2022. DOI: 10.1109/ACCESS.2022.3173622