内容来源
应用多元统计分析 北京大学出版社 高惠璇编著
霍特林 T 2 T^2 T2 分布
一元统计中，若
X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1)
ξ ∼ χ 2 ( n ) \xi\sim\chi^2(n) ξ∼χ2(n)
且 X X X 与 ξ \xi ξ 相互独立，则
t = X ξ / n ∼ t ( n ) t=\frac{X}{\sqrt{\xi/n}}\sim t(n) t=ξ/nX∼t(n)
将 t 2 = n X 2 / ξ = n X ′ ξ − 1 X t^2=nX^2/\xi=nX'\xi^{-1}X t2=nX2/ξ=nX′ξ−1X 的分布推广
定义
设 X ∼ N p ( 0 , Σ ) X\sim N_p(0,\Sigma) X∼Np(0,Σ)
W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp(n,Σ)
且 X X X 与 W W W 相互独立
则称 T 2 = n X ′ W − 1 X T^2=nX'W^{-1}X T2=nX′W−1X 为霍特林 T 2 T^2 T2 统计量
其分布称为服从 n n n 个自由度的 T 2 T^2 T2 分布，记为
T 2 ∼ T 2 ( p , n ) T^2\sim T^2(p,n) T2∼T2(p,n)
更一般地，若 X ∼ N p ( μ , Σ ) X\sim N_p(\mu,\Sigma) X∼Np(μ,Σ)
则称 T 2 T^2 T2 为非中心霍特林 T 2 T^2 T2 分布
记为 T 2 ∼ T 2 ( p , n , μ ) T^2\sim T^2(p,n,\mu) T2∼T2(p,n,μ)
性质
1.与 F F F 分布的关系
设 T 2 ∼ T 2 ( p , n ) T^2\sim T^2(p,n) T2∼T2(p,n)
n − p + 1 n p T 2 ∼ F ( p , n − p + 1 ) \frac{n-p+1}{np}T^2\sim F(p,n-p+1) npn−p+1T2∼F(p,n−p+1)
2
设 X i ( i = 1 , ⋯ , n ) X_i(i=1,\cdots,n) Xi(i=1,⋯,n) 是来自 p p p 元总体 N p ( μ , Σ ) N_p(\mu,\Sigma) Np(μ,Σ) 的随机样本
X ‾ \overline{X} X 是样本均值向量， A A A 是样本离差阵，则
n ( n − 1 ) ( X ‾ − μ ) ′ A − 1 ( X ‾ − μ ) ∼ T 2 ( p , n − 1 ) n(n-1)(\overline{X}-\mu)'A^{-1}(\overline{X}-\mu)\sim T^2(p,n-1) n(n−1)(X−μ)′A−1(X−μ)∼T2(p,n−1)
n ( n − p ) p X ‾ A − 1 X ‾ ∼ F ( p , n − p , δ ) \frac{n(n-p)}{p}\overline{X}A^{-1}\overline{X}\sim F(p,n-p,\delta) pn(n−p)XA−1X∼F(p,n−p,δ)
令 Y i = C X i + d Y_i=CX_i+d Yi=CXi+d，骑其中
C C C 为非退化常数矩阵
d d d 为常数向量，则
n ( n − 1 ) ( X ‾ − μ ) ′ A − 1 ( X ‾ − μ ) = n ( n − 1 ) ( Y ‾ − μ y ) ′ A y − 1 ( Y ‾ − μ y ) ∼ T 2 ( p , n − 1 ) n(n-1)(\overline{X}-\mu)'A^{-1}(\overline{X}-\mu)\\ =n(n-1)(\overline{Y}-\mu_y)'A^{-1}_y(\overline{Y}-\mu_y)\\ \sim T^2(p,n-1) n(n−1)(X−μ)′A−1(X−μ)=n(n−1)(Y−μy)′Ay−1(Y−μy)∼T2(p,n−1)
