CRC校验例题详解

示例题目
给定数据帧1101001和生成多项式G(x)=x⁴+x³+x²+1，求该数据帧的CRC校验码，并验证传输过程中是否会出现错误。
解题步骤
第一步转换生成多项式：
接下来是对这一步骤的详细解答：

生成多项式的二进制表示
当我们有一个生成多项式，比如G(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 1时，我们需要将其转换为二进制形式以便进行CRC校验的计算。确定位数：
生成多项式的最高次幂是x^4，因此我们需要一个5位的二进制数来表示它（因为最高次幂+1）。
分配二进制位：
从左到右（或从最高位到最低位），我们为每个幂次分配一个二进制位。
x^4对应最高位（最左边的位）。
x^3对应次高位。
x^2对应接下来的位。
x^1和x^0（常数项）分别对应更低位，但在这个例子中，x^1的系数是隐含为0的（因为生成多项式中没有x^1项），而x^0的系数是1（因为多项式最后有一个+1）。
设置二进制位的值：
如果生成多项式中的某一项存在（即系数不为0），则对应的二进制位设为1。
如果某一项不存在（即系数为0），则对应的二进制位设为0。
处理x^2：
在这个例子中，x^2是存在的（系数为1），所以我们在二进制表示的第三位（从左数起）上写1。
示例
对于生成多项式G(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 1：最高位（x^4）：1
次高位（x^3）：1
第三位（x^2）：1
第四位（隐含的x^1，系数为0）：0（虽然通常不显式写出，但在二进制表示中需要留一个位给它，值为0）
最低位（x^0，常数项）：1
因此，生成多项式G(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 1的二进制表示为：11101。

准备数据帧

原始数据帧为1011001。
根据生成多项式的位数（5位），在数据帧后添加4个0（因为5-1=4），得到新数据帧10110010000。

原因解释：

准备数据帧时加4个0的原因，从某种程度上可以理解为是固定解法的一部分，但这种表述可能不完全准确。更准确地说，加0是为了适应CRC（循环冗余校验）算法的要求，确保能够生成一个固定长度的校验码。在CRC算法中，生成多项式的位数决定了校验码的长度。为了得到这个固定长度的校验码，需要在原始数据帧的末尾添加一定数量的0。这个数量通常等于生成多项式的位数减1。这样做的目的是确保在进行模2除法时，能够生成一个与生成多项式位数减1相等的余数，即CRC校验码。固定解法在数学和工程领域通常指的是一种通过已知条件或方法求解问题的方法，它通常具有确定的步骤和结果。在CRC算法中，虽然加0是一个固定的步骤，但它更多地是为了满足算法本身的要求，而不是作为一种独立的解法存在。因此，虽然可以将加0视为CRC算法中的一个固定步骤，但将其称为“固定解法”可能不太准确。更准确的说法是，加0是为了适应CRC算法的要求，确保能够生成一个固定长度的校验码，从而进行有效的错误检测。综上所述，准备数据帧时加4个0的原因是为了满足CRC算法的要求，确保能够生成一个固定长度的校验码，而不是因为这是一个独立的固定解法。

计算CRC校验码
使用模2除法（即二进制异或运算）将新数据帧除以生成多项式10011。
模2除法的具体步骤是：从最高位开始，将当前位与生成多项式的最高位对齐，然后逐位进行异或运算。
逐位异或运算后，如果生成多项式的最高位下方还有未参与异或的位，则这些位就是CRC校验码。
下面是具体的计算过程：

新数据帧：10110010000
生成多项式：1001110110010000
-10011  （第一次异或，结果：00100001000）----00100001000-10011  （第二次异或，结果：0001010000）----0001010000-00000  （此处为填充的0，异或结果不变：0001010000，但注意移位）----（继续移位并异或，直到所有位都参与过异或）...（最终余数即为CRC校验码）0011