Java开发者的神经网络进阶指南：深入探讨交叉熵损失函数

前言

今天来讲一下损失函数——交叉熵函数，什么是损失函数呢？大体就是真实与预测之间的差异，这个交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。在信息论中，交叉熵是表示两个概率分布 p，q 的差异，其中 p 表示真实分布，q 表示预测分布，那么 $H (p, q)$ 就称为交叉熵：

$-\sum_{i=0}^n p(i)ln^{q(i)}$

交叉熵是一种常用的损失函数，特别适用于神经网络训练中。在这种函数中，我们用 p 来表示真实标记的分布，用 q 来表示经过训练后模型预测的标记分布。通过交叉熵损失函数，我们可以有效地衡量模型预测分布 q 与真实分布 p 之间的相似性。

交叉熵函数是逻辑回归（即分类问题）中常用的一种损失函数。

前置知识

有些同学和我一样，长时间没有接触数学，已经完全忘记了。除了基本的加减乘除之外，对于交叉熵函数中的一些基本概念，他们可能只记得和符号。今天我会和大家一起回顾一下，然后再详细解释交叉熵函数。首先，我们来简单了解一下指数和对数的基本概念。

指数

$x^3$ 是一个典型的立方函数，大家对平方和立方可能都有所了解。指数级增长的函数具有特定的增长规律，让我们更深入地记忆和理解它们的分布特性。

这个概念非常简单，无需举例子来说明。重要的是要记住一个关键点：指数函数的一个特殊性质是它们都经过点（0,1），这意味着任何数的0次幂都等于1。

对数

好的，铺垫已经完成了。现在让我们继续探讨对数函数的概念。前面讲解了指数函数，对数函数则是指数函数的逆运算。如果有一个指数函数表达式为 $y = a^x$ ，那么它的对数表达式就是 $x = \log_a y$ 。为了方便表示，我们通常将左侧的结果记为 $y$ ，右侧的未知函数记为 $x$ ，因此对数函数最终表示为 $y = \log_a x$ 。为了更加深刻地记忆这一点，让我们看一下它的分布图例。

当讨论指数函数时，我们了解到其图像在( (0,1) ) 处穿过横轴。然而，当我们转而讨论对数函数时，其表示形式导致了这一点被调换至( (1,0) )，因此对于对数函数而言，它的恒过点即为( (1,0) )。

剩下关于对数的变换我就不再详细讲解了。现在让我们深入探讨一下熵的概念。

交叉熵函数

熵

在探讨交叉熵之前，我们先来了解一下熵的概念。熵是根据已知的实际概率计算信息量的度量，那么信息量又是什么呢？

信息论中，信息量的表示方式： $I(x_j) = -ln^{(px_j)}$

$x_j$ ：表示一个事件。

$px_j$ ：表示一个事件发生的概率。

$ln^{(px_j)}$ ：表示某一个事件发生后会有多大的信息量，概率越低，所发生的信息量也就越大。

这里为了更好地说明，我来举个例子。比如说有些人非常喜欢追星。那么，按照一般的逻辑来说，我们可以谈谈明星结婚这件事的概率分布：

事件编号	事件	概率p	信息量 I
$x_1$	两口子都在为事业奋斗照顾家庭	0.7	$I(x_1) = -ln^{0.7}= 0.36$
$x_2$	两口子吵架	0.2	$I(x_2) = -ln^{0.2}= 1.61$
$x_3$	离婚了	0.1	$I(x_3) = -ln^{0.1}= 2.30$

从上面的例子可以看出，如果一个事件的概率很低，那么它所带来的信息量就会很大。比如，某某明星又离婚了！这个消息的信息量就非常大。相比之下，“奋斗”事件的信息量就显得小多了。

按照熵的公式进行计算，那么这个故事的熵即为：

熵： $-\sum_j^n(px_j)ln^{(px_j)}$

计算得出： $H(p) = -[(px_1)ln^{(px_1)}+(px_2)ln^{(px_2)}+(px_3)ln^{(px_3)}] = -[0.7*0.36+0.2*1.61+0.1*2.3] = 0.804$

相对熵(KL散度)

上面我们讨论了熵的概念及其应用，熵仅考虑了真实概率分布。然而，我们的损失函数需要考虑真实概率分布与预测概率分布之间的差异。因此，我们需要进一步研究相对熵（KL散度），其计算公式为：

$\sum_j^n(px_j)ln^{(px_j) \over (qx_j)}$

哎，这其实就是在原先的公式中加了一个 $q(x_j)$ 而已。对了，这里的 $q(x_j)$ 指的是加上了预测概率分布 $q$ 。我们知道对数函数的对称点是（1,0）。因此，很容易推断出，当真实分布 $p$ 和预测分布 $q$ 越接近时，KL散度 $D$ 的值就越小。当它们完全相等时，KL散度恒为0，即在点（1,0）。这样一来，我们就能够准确地衡量真实值与预测值之间的差异分布了。但是没有任何一个损失函数是能为0 的。

当谈到相对熵已经足够时，为何需要进一步讨论交叉熵呢？让我们继续深入探讨这个问题。

交叉熵

重头戏来了，我们继续看下相对熵函数的表达式： $\sum_j^n(px_j)ln^{(px_j) \over (qx_j)}$

这里注意下， $log^{p \over q}$ 是可以变换的，也就是说 $log^{p \over q}$ = $log^p -log^ q$ ，这么说，相对熵转换后的公式就是：$H§ = \sum_j^n(px_j)ln{(px_j)} - \sum_j^n(px_j)ln{(qx_j)} = -H§ + H(p,q) $

当我们考虑到 $H (p)$ 在处理不同分布时并没有太大作用时，这是因为 $p$ 的熵始终保持不变，它是由真实的概率分布计算得出的。因此，损失函数只需专注于后半部分 $H (p, q)$ 即可。

所以最终的交叉熵函数为： $-\sum_j^n(px_j)ln^{(qx_j)}$

这里需要注意的是，上面显示的是一个样本计算出的多个概率的熵值。通常情况下，我们考虑的是多个样本，而不仅仅是单一样本。因此，我们需要在前面添加样本的数量，最终表示为： $-\sum_i^m\sum_j^n(px_j)ln^{(qx_j)}$

代码实现

这里主要使用Python代码来实现，因为其他语言实现起来没有必要。好的，让我们来看一下代码示例：

import numpy as npdef cross_entropy(y_true, y_pred):# 用了一个最小值epsilon = 1e-15y_pred = np.clip(y_pred, epsilon, 1 - epsilon)# Computing cross entropyce = - np.sum(y_true * np.log(y_pred))return ce# Example usage:
y_true = np.array([1, 0, 1])
y_pred = np.array([0.9, 0.1, 0.8])ce = cross_entropy(y_true, y_pred)
print(f'Cross Entropy: {ce}')