033_Structure_Static_In_Matlab求解结构静力学问题两套方法

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结构静力学问题

静力学问现在是已经很简单的问题，在材料各向同性的情况下，对于弹性固体材料，很容易通过有限元求解。特别是线弹性问题，方程的矩阵形式可以很容易的写出（准确得说是很容易通过有限元表达），然后通过求解线性方程组得到结果。

基本上，求解的就是如下形式的方程：

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + d \frac{\partial u}{ \partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

其中， $m$ 是质量矩阵， $c$ 是阻尼矩阵， $a$ 是刚度矩阵， $f$ 是外力矩阵, $u$ 是不同问题中的因变量，结构问题中是位移，热传导问题中是温度，电磁场问题中是电势。而方程中的 $d$ 只有在时变问题中才会出现，是一个时间相关的粘性系数。

当然，当方程的变量有多个时，方程就可以写成矢量的形式：

$\mathbf{m} \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} + \mathbf{d} \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} - \nabla \cdot (\mathbf{c} \otimes \nabla \mathbf{u}) + \mathbf{a} \mathbf{u} = \mathbf{f}$

相应的系数就变成矩阵或者向量，式中的 $\otimes$ 也就是张量积或者叫克罗内克积、Kronecker乘积。

接下来我们先介绍下传统方式的求解结构静力学问题，然后介绍新的统一模型的求解方式。

Matlab PDE Toolbox传统形式

这个工具箱最早的时候就实现了固体结构静力学、热传导、电磁场等问题的求解。

工具箱把不同领域的问题分成了不同的模型，采用同一个接口createpde来创建模型。这个接口的第一个参数是模型的名字，根据名称返回不同的模型对象。

structural：结构问题
thermal：热传导问题
electromagnetic：电磁场问题

每种问题，又包含了若干不同的分析类型，就拿结构问题来说，有：

"static-solid" | "static-planestress" | "static-planestrain" | "static-axisymmetric" | "transient-solid" | "transient-planestress" | "transient-planestrain" | "transient-axisymmetric" | "modal-solid" | "modal-planestress" | "modal-planestrain" | "modal-axisymmetric" | "frequency-solid" | "frequency-planestress" | "frequency-planestrain" | "frequency-axisymmetric"

首先，我们创建一个结构模型。

matlab">% 创建PDE模型
model = createpde('structural', 'static-solid');model

model = StructuralModel - 属性:AnalysisType: "static-solid"Geometry: []MaterialProperties: []BodyLoads: []BoundaryConditions: []ReferenceTemperature: []SuperelementInterfaces: []Mesh: []SolverOptions: [1x1 pde.PDESolverOptions]

这个StructuralModel对象中，有各种属性，可以很容易的猜出其含义。比如MaterialProperties就是材料属性，BodyLoads就是体力，BoundaryLoads就是边界力，BoundaryConditions就是边界条件。

下面我们找一个最简单的问题，就是一个悬臂梁的问题，然后求解。

matlab">% 定义几何
gm = multicuboid(15, 1, 1);
model.Geometry = gm;
% 几何模型
figure
pdegplot(model, 'FaceLabels', 'on', 'FaceAlpha', 0.5);
title('Geometry with Face Labels - Domain Specific Modeling');

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我们这里专门把面的编号写出来，方便后面的边界条件的设置。

材料特性都是瞎写的。

matlab">% 指定材料属性
structuralProperties(model, 'YoungsModulus', 210E9, 'PoissonsRatio', 0.3, 'MassDensity', 7800);

接下来就是产生网格，然后求解。

matlab">% 生成网格
generateMesh(model, 'Hmax', 0.2);

网格的最大边长设为0.1，这个值是可以调整的，这个值越小，网格越密，计算结果越精确，但是计算量也越大。

matlab">% 绘制网格
figure
pdeplot3D(model);
title('Mesh with Hmax = 0.2');

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边界条件，我们把梁的右边固定，左边施加一个力。还记得加上重力的影响。看到我们这个力是一个向量，斜向下拉。

matlab">% 应用边界条件
structuralBC(model, 'Face', 3, 'Constraint', 'fixed');
structuralBoundaryLoad(model, 'Face', 5, 'SurfaceTraction', [0; -1E5; -1E5]);% 重力
structuralBodyLoad(model, 'GravitationalAcceleration', [0; 0; -9.81]);

调用函数solve求解。

matlab">% 求解PDE
result = solve(model);

首先我们可以绘制整体的位移大小，基本上，就是经典的悬臂梁的感觉。不过，1米的悬臂梁还是很强很强的……

matlab">% 后处理结果
pdeplot3D(model, 'ColorMapData', result.Displacement.Magnitude);title('Displacement Magnitude - Static Analysis - Domain Specific Modeling');

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当然我们还可以计算应力，然后绘制应力的分布，应力集中的方式也很明显。

matlab">vonMisesStress = result.VonMisesStress;
pdeplot3D(model, 'ColorMapData', vonMisesStress);title('VonMisesStress-Structural Static-Domain Specific Model');

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统一求解框架

从2023a开始，Matlab开始引入了一个统一的求解框架来替代传统的各个专业的模型。这与工业软件的大的趋势也是一致的，多学科融合、数字化双创等等。

利用统一个数模、或者同一套网格，来求解不同的问题，这样可以减少重复工作，提高效率。

这个框架入口，就是femodel。就上面的悬臂梁问题，我们可以用这个框架来求解。

matlab">model = femodel(AnalysisType = "structuralStatic", Geometry = gm);model

model = 1x1 femodel arrayProperties for analysis type: structuralStaticAnalysisType: "structuralStatic"Geometry: [1x1 fegeometry]MaterialProperties: [0x1 materialProperties]Boundary ConditionsFaceBC: [0x6 faceBC]EdgeBC: [0x12 edgeBC]VertexBC: [0x8 vertexBC]LoadsCellLoad: [0x1 cellLoad]FaceLoad: [0x6 faceLoad]EdgeLoad: [0x12 edgeLoad]VertexLoad: [0x8 vertexLoad]Other ParametersReferenceTemperature: []SolverOptions: [1x1 pde.PDESolverOptions]Show <a href="matlab:if exist('model','var'), displayAllProperties(model); else, disp('无法显示变量 model 的属性，因为该变量不再存在。'), end">所有属性</a>

这个对象也没有什么特别的，其属性也很容易从名字看出内容。

绘制模型的函数一点都没变……也能够认识这个对象

matlab">pdegplot(model, FaceLabels='on', FaceAlpha=0.5);
title('Geometry with Face Labels Displayed - femodel');

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设置材料属性，采用了属性赋值的形式，并提供了一个新的函数materialProperties来设置材料属性。

划分网格的函数没有改变，唯一变化的时候必须把模型对象传递出去，不会直接在位修改输入参数的属性，这说明这个对象并不是handle对象。

最后，产生的网格记录在了model.Geometry.Mesh中，这个对象是一个FEMesh对象，这个对象也是一个新的对象，用来表示网格。

matlab">model.MaterialProperties = materialProperties('YoungsModulus', 210E9, 'PoissonsRatio', 0.3, 'MassDensity', 7800);
model = generateMesh(model);
pdeplot3D(model.Geometry.Mesh);model.Geometry.Meshtitle('Mesh with default parameters - femodel');

ans = FEMesh - 属性:Nodes: [3x1267 double]Elements: [10x600 double]MaxElementSize: 0.6027MinElementSize: 0.3013MeshGradation: 1.5000GeometricOrder: 'quadratic'

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设置边界条件的方式也略有不同，从调用函数修改为了属性赋值的方式。我们可以看到，边界条件变成了一个数组。

FaceBC：面的边界条件，对应faceBC对象/函数
EdgeBC：边的边界条件，对应edgeBC对象/函数
VertexBC：点的边界条件，对应vertexBC对象/函数

载荷条件、初值条件等等也是类似的。

从这三个对象的数组，也可以看到模型包含面、线、点三种对象的数目。当然，设置边界条件的时候，也是按照这个顺序来设置的。

当然，载荷有一个体积载荷，对应CellLoad属性和cellLoad对象/函数。

matlab">model.FaceBC(3) = faceBC(Constraint='fixed');model.FaceLoad(5) = faceLoad(SurfaceTraction=[0; -1E5; -1E5]);model.CellLoad = cellLoad(Gravity=[0; 0; -9.81]);

当然，我们如果对于Matlab结构数组的操作比较熟悉，也可以对多个对象进行操作，比如设置多个边界条件。

比如面边界，经过我们设置之后，可以看到：

matlab">model.FaceBC

ans = 1x6 faceBC arrayProperties for analysis type: structuralStaticIndex    Constraint    XDisplacement    YDisplacement    ZDisplacement1          []             []               []               []      2          []             []               []               []      3        fixed            []               []               []      4          []             []               []               []      5          []             []               []               []      6          []             []               []               []      Show <a href="matlab:if exist('ans','var'), displayAllProperties(ans); else, disp('无法显示变量 ans 的属性，因为该变量不再存在。'), end">所有属性</a>

matlab">model.FaceBC(2:4) = faceBC(Constraint='fixed');model.FaceBC

ans = 1x6 faceBC arrayProperties for analysis type: structuralStaticIndex    Constraint    XDisplacement    YDisplacement    ZDisplacement1          []             []               []               []      2        fixed            []               []               []      3        fixed            []               []               []      4        fixed            []               []               []      5          []             []               []               []      6          []             []               []               []      Show <a href="matlab:if exist('ans','var'), displayAllProperties(ans); else, disp('无法显示变量 ans 的属性，因为该变量不再存在。'), end">所有属性</a>

这样就很容易的设置了多个边界条件。

接下来就是基本一样的求解过程，调用solve函数，然后绘制结果。

matlab">% 先把面边界条件设回去，不然三个面被固定，结果会很好玩的
model.FaceBC([2, 4]) = faceBC();ret = solve(model);pdeplot3D(model.Geometry.Mesh, ColorMapData=ret.Displacement.Magnitude);
title('Displacement Magnitude-Structural Static-femodel');

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matlab">vonMisesStress = ret.VonMisesStress;pdeplot3D(model.Geometry.Mesh, ColorMapData=vonMisesStress);title('VonMisesStress-Structural Static-femodel');