第10讲：函数递归

1. 递归是什么？

递归是学习C语言函数绕不开的⼀个话题，那什么是递归呢？
递归其实是⼀种解决问题的方法，在C语言中，递归就是函数自己调用自己。
写⼀个史上最简单的C语言递归代码：
#include <stdio.h>
int main()
{
printf(“hehe\n”);
main();//main函数中又调用了main函数
return 0;
}
上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上面的递归只是为了演示递归的基本形式，不是为了解决问题，代码最终也会陷入死递归，导致栈溢出（Stack overflow）。
在这里插入图片描述
1.1 递归的思想：

把⼀个大型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较小的子问题来求解；直到⼦问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把大事化小的过程。递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思，接下来慢慢来体会。

1.2 递归的限制条件

递归在书写的时候，有2个必要条件：
• 递归存在限制条件，当满足这个限制条件的时候，递归便不再继续。
• 每次递归调用之后越来越接近这个限制条件。
在下面的例子中，我们逐步体会这2个限制条件。

2. 递归举例

2.1 举例1：求n的阶乘
⼀个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。
⾃然数n的阶乘写作n!。
题目：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。
2.1.1 分析和代码实现
我们知道n的阶乘的公式： n！ = n ∗ (n − 1)!

举例：
5! = 54321
4! = 4321
所以:5! = 54!
这样的思路就是把⼀个较大的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。
当 n0 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过公式计算。
n的阶乘的递归公式如下：
在这里插入图片描述
那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶
乘，函数如下：
int Fact(int n)
{
if(n0)
return 1;
else
return nFact(n-1);
}
1
2
3
4
5
6
7
测试：
#include <stdio.h>
int Fact(int n)
{
if(n==0)
return 1;
else
return nFact(n-1);
}
int main()
{
int n = 0;
scanf(“%d”, &n);
int ret = Fact(n);
printf(“%d\n”, ret);
return 0;
}
在这里插入图片描述

2.2 举例2：顺序打印⼀个整数的每⼀位

输入⼀整数m，按照顺序打印整数的每⼀位。
比如：
输入：1234 输出：1 2 3 4
输入：520 输出：5 2 0

2.2.1 分析和代码实现

这个题目，放在我们面前，首先想到的是，怎么得到这个数的每⼀位呢？
如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n自己
n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位，1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4
然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推不断的 %10 和 /10 操作，直到1234的每⼀位都得到；
但是这里有个问题就是得到的数字顺序是倒着的
但是我们有了灵感，我们发现其实⼀个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到
那我们假设想写⼀个函数Print来打印n的每⼀位，如下表示：

Print(n)
如果n是1234，那表示为：
Print(1234) //打印1234的每⼀位
其中1234中的4可以通过%10得到，那么
Print(1234)就可以拆分为两步：

Print(1234/10) //打印123的每⼀位
printf(1234%10) //打印4
完成上述2步，那就完成了1234每⼀位的打印
那么Print(123)又可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)
//打印3和12的每一位
以此类推下去，就有
Print(1234)
==>Print(123) + printf(4)
==>Print(12) + printf(3)
==>Print(1) + printf(2)
==>printf(1)
直到被打印的数字变成⼀位数的时候，就不需要再拆分，递归结束。
那么代码完成也就比较清楚：
void Print(int n)
{
if(n>9)
{
Print(n/10);
}
printf(“%d “, n%10);
}
int main()
{
int m = 0;
scanf(”%d”, &m);
Print(m);
return 0;
}

在这个解题的过程中，我们就是使用了大事化小的思路
把Print(1234) 打印1234每⼀位，拆解为首先Print(123)打印123的每⼀位，再打印得到的4
把Print(123) 打印123每⼀位，拆解为首先Print(12)打印12的每⼀位，再打印得到的3
直到Print打印的是⼀位数，直接打印就行。

3. 递归与迭代

递归是⼀种很好的编程技巧，但是和很多技巧⼀样，也是可能被误用的，就像举例1⼀样，看到推导的公式，很容易就被写成递归的形式：
在这里插入图片描述
Fact(n)
int Fact(int n)
{
if(n==0)
return 1;
else
return n*Fact(n-1);
}

Fact函数是可以产生正确的结果，但是在递归函数调用的过程中涉及⼀些运行时的开销。在C语言中每⼀次函数调用，都需要为本次函数调用在内存的栈区，申请⼀块内存空间来保存函数调用期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运行时堆栈，或者函数栈帧。函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占用，所以如果函数调用中存在递归调用的话，每⼀次递归函数调用都会开辟属于自己的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。所以如果采用函数递归的地方式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢出（stack overflow）的问题。
所以如果不想使用递归，就得想其他的办法，通常就是迭代的方式（通常就是循环的方式）。
如：比计算 n 的阶乘，也是可以产生1~n的数字累计乘在⼀起的。
int Fact(int n)
{
int i = 0;
int ret = 1;
for(i=1; i<=n; i++)
{
ret *= i;
}
return ret;
}
上述代码是能够完成任务，并且效率是比递归的方式更好的。事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进行解释的，这只是因为它比非递归的形式更加清晰，但是这些问题的迭代实现往往比递归实现效率更高。当⼀个问题非常复杂，难以使用迭代的方式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运行时开销。

举例3：求第n个斐波那契数

我们也能举出更加极端的例⼦，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使用递归求解的，但是斐波那契数的问题通过是使用递归的形式描述的，如下：
看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所示：
在这里插入图片描述

int Fib(int n)
{
if(n<=2)
return 1;
else
return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
测试代码：
#include <stdio.h>
int main()
{
int n = 0;
scanf(“%d”, &n);
int ret = Fib(n);
printf(“%d\n”, ret);
return 0;
}
当我们n输⼊为50的时候，需要很长时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，
这也说明递归的写法是非常低效的，那是为什么呢
在这里插入图片描述
#include <stdio.h>
int count = 0;
int Fib(int n)
{
if(n == 3)
count++;//统计第3个斐波那契数被计算的次数
if(n<=2)
return 1;
else
return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
int main()
{
int n = 0;
scanf(“%d”, &n);
int ret = Fib(n);
printf(“%d\n”, ret);
printf(“\ncount = %d\n”, count);
return 0;
}
在这里插入图片描述
这里我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使用递归方式，第3个斐波那契数就被重复计算了
39088169次，这些计算是非常冗余的。所以斐波那契数的计算，使用递归是非常不明智的，我们就得想迭代的方式解决。
我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从小到大计算就行了。
这样就有下面的代码：
int Fib(int n)
{
int a = 1;
int b = 1;
int c = 1;
while(n>2)
{
c = a+b;
a = b;
b = c;
n–;
}
return c;
}
迭代的方式去实现这个代码，效率就要高出很多了。
有时候，递归虽好，但是也会引入⼀些问题，所以我们⼀定不要迷恋递归，适可而止就好。
完，感谢观看