647. 回文子串
动规五部曲:
1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义
按照之前做题的惯性,定义dp数组的时候很自然就会想题目求什么,就如何定义dp数组。但是对于本题来说,这样定义很难得到递推关系,dp[i] 和 dp[i-1] ,dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
在判断字符串S是否是回文时,如果知道 s[1],s[2],s[3] 子串是回文,只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同,如果相同的话,这个字符串s 就是回文串。此时找到了一种递归关系,判断一个字符串下标范围[i,j]是否回文,依赖于子字符串下标范围[i + 1, j - 1]是否是回文。
所以dp数组要定义成一个二维dp数组。布尔类型的dp[i][j]:表示区间范围[i,j] (注意是左闭右闭)的子串是否是回文子串,如果是dp[i][j]为true,否则为false。
2、确定递推公式
- 当s[i]与s[j]不相等,dp[i][j]一定是false。
- 当s[i]与s[j]相等时,这就复杂一些了,有如下三种情况
情况一:下标i 与 j相同,同一个字符例如a,当然是回文子串
情况二:下标i 与 j相差为1,例如aa,也是回文子串
情况三:下标:i 与 j相差大于1的时候,例如cabac,此时s[i]与s[j]已经相同了,看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
3、dp数组如何初始化
dp[i][j]初始化为false
4、确定遍历顺序
从递推公式中可以看出情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true对dp[i][j]进行赋值的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角。所以从下到上,从左到右遍历,保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
举例aaa,先从最后一个a开始遍历,然后第2个a,最后是第1个a
因为dp[i][j]的定义,所以j一定是大于等于i的,那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
5、举例推导dp数组
代码如下:
class Solution {public int countSubstrings(String s) {boolean[][] dp=new boolean[s.length()][s.length()];int result=0;for(int i=s.length();i>=0;i--){for(int j=i;j<s.length();j++){if(s.charAt(i)==s.charAt(j) && (j-i<=1 || dp[i+1][j-1])){result++;dp[i][j]=true;}}}return result;}
}
还可以考虑使用中心扩散法。
确定回文串-就是找中心然后向两边扩散看是不是对称。
在遍历中心点的时候,要注意中心点有两种情况:一个元素可以作为中心点,两个元素也可以作为中心点。对每一个元素作为中心点的情况进行遍历。
代码如下:
class Solution {public int countSubstrings(String s) {int reslut=0;for(int i=0;i<s.length();i++){reslut+=extend(s,i,i,s.length());reslut+=extend(s,i,i+1,s.length());}return reslut;}public int extend(String s,int i,int j,int n){int res=0;while(j<n && i>=0 && s.charAt(i)==s.charAt(j)){res++;i--;j++;}return res;}
}
516.最长回文子序列
思路:该题与上一题的区别在于子序列是删除某些元素得到的序列。
动规五部曲分析如下:
1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j]:字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
2、确定递推公式
在判断回文子串的题目中,关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
- 如果s[i]与s[j]相同,那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
- 如果s[i]与s[j]不相同,说明s[i]和s[j]的同时加入并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度,分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j];加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。dp[i][j]取最大的,即:dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
因为遍历了每个i和j,且考虑了不取左边或右边的情况,因而可以实现子序列不连续。
3、dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况,从递推公式:dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出递推公式计算不到 i 和j相同时候的情况,所以需要手动初始化一下,当i与j相同,dp[i][j]=1,即:一个字符的回文子序列长度就是1。
4、确定遍历顺序
和上一题一样,从下到上,从左到右遍历。
5、举例推导dp数组
代码如下:
class Solution {public int longestPalindromeSubseq(String s) {int[][] dp=new int[s.length()][s.length()];for(int i=0;i<s.length();i++){dp[i][i]=1;}for(int i=s.length();i>=0;i--){for(int j=i+1;j<s.length();j++){if(s.charAt(i)==s.charAt(j)) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;else dp[i][j]=Math.max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);}}return dp[0][s.length()-1];}
}