分式规划（Fractional Programming, FP）和半定松弛（Semidefinite Relaxation, SDR）是解决非线性优化问题的常用技术。它们有各自的适用条件，下面我将逐一解释它们的应用条件和适用场景。
1. 分式规划（Fractional Programming, FP）
分式规划是指优化问题中的目标函数是一个分式（即由两个函数相除组成）。典型的分式形式是：
[
\max_{\mathbf{x}} \frac{f(\mathbf{x})}{g(\mathbf{x})}
]
其中，( f(\mathbf{x}) ) 和 ( g(\mathbf{x}) ) 是关于 ( \mathbf{x} ) 的非负函数。
分式规划的应用条件：
- 目标函数具有分式结构：最常见的应用场景是目标函数是一个分式，例如，信干噪比（SINR）优化问题。
- 分子和分母的函数类型：如果分子 ( f(\mathbf{x}) ) 和分母 ( g(\mathbf{x}) ) 都是凸函数，通常可以通过方法（如Dinkelbach方法）将分式问题转化为更易处理的形式。
- 非负性：分子和分母需要是非负的，以确保分式定义良好且具有实际意义（例如，在通信中，SINR 和功率都是非负的）。
- 分母不能为零：为了确保目标函数有效，分母 ( g(\mathbf{x}) ) 必须大于零，否则问题可能没有实际物理意义。
分式规划的常见方法：
- Dinkelbach方法：这是处理凸分式规划的常用方法。该方法将原问题转化为一系列的凸优化问题，通过迭代求解直到收敛。
- Charnes-Cooper变换：该方法将分式目标函数转化为一个等价的线性目标函数，使问题易于处理。
应用场景：
- 通信系统中的SINR最大化问题：在无线通信中，分式规划用于最大化用户的信干噪比（SINR）。
- 能效优化：在节能问题中，目标函数常常是效能与消耗能量的比值，分式规划非常适合这种情况。
2. 半定松弛（Semidefinite Relaxation, SDR）
半定松弛是一种放松非凸优化问题的方法，通常用于具有矩阵变量或二次型约束的问题。通过将非凸问题转化为凸的半定规划问题，SDR能够生成近似解。
半定松弛的应用条件：
- 问题的非凸性：如果问题的约束或目标函数是非凸的（特别是涉及二次型或矩阵变量的情况），可以考虑用SDR进行处理。
- 二次型形式的目标函数：SDR特别适用于目标函数或约束是二次型的情况，例如，目标函数为 ( \mathbf{x}^T \mathbf{Q} \mathbf{x} ) 的形式，其中 ( \mathbf{Q} ) 是一个矩阵。
- 二次约束：如果优化问题中存在二次约束（即类似于 ( \mathbf{x}^T \mathbf{Q} \mathbf{x} \leq c ) 的形式），也可以通过SDR处理。
- 矩阵变量的引入：SDR通常需要将标量变量提升为矩阵变量，例如将 ( \mathbf{x} \mathbf{x}^T ) 引入为一个新的矩阵，并引入一个半正定的约束 ( \mathbf{X} \succeq 0 )。
- 目标函数的凸性：通过将问题松弛为半定规划，目标函数和约束的凸性能够得以保证，从而便于求解。
半定松弛的步骤：
- 引入矩阵变量：将原问题中的标量变量提升为矩阵形式。例如，对于二次型目标 ( \mathbf{x}^T \mathbf{Q} \mathbf{x} )，引入新的矩阵变量 ( \mathbf{X} = \mathbf{x} \mathbf{x}^T )。
- 放松秩约束：原问题中的秩约束 ( \text{rank}(\mathbf{X}) = 1 ) 被去除，变为一个半定约束 ( \mathbf{X} \succeq 0 )，使问题从非凸变为凸。
- 求解半定规划：经过放松后的问题可以通过半定规划（SDP）求解工具如CVX、SeDuMi等进行求解。
- 随机化方法：由于SDR是放松后的问题，其解往往不一定是原问题的可行解，因此需要使用随机化方法从SDR的解中生成原问题的可行解。
应用场景：
- 无线通信中的波束成形：在MIMO系统中，波束成形设计往往涉及二次型目标和约束，SDR被广泛应用于此类问题。
- 最小化传输功率问题：SDR常用于最小化无线网络中的传输功率，同时满足QoS（服务质量）约束。
- 传感器网络中的定位问题：SDR也应用于定位问题中，通过松弛二次约束来逼近最优解。
3. 分式规划与半定松弛的结合
在一些复杂的优化问题中，例如无线通信中的联合波束成形和功率控制问题，目标函数可能是分式形式，且约束条件是二次型的。这时可以将 分式规划和半定松弛结合起来：
- 先使用Dinkelbach方法 将分式规划问题转化为一系列的线性或二次型优化问题。
- 再使用SDR 对转化后的二次型优化问题进行松弛，最终获得问题的近似解。
这种组合方法可以解决诸如 分式目标函数 和 二次约束 同时存在的问题，在无线通信和信号处理等领域非常常见。
总结
- 分式规划 适用于分子和分母都是凸函数、且目标函数具有分式结构的优化问题，常用于能效优化和SINR最大化问题。
- 半定松弛 适用于目标函数或约束是二次型、且问题具有矩阵形式的非凸优化问题，常用于波束成形和功率控制问题。
- 两者可以结合使用，解决复杂的无线通信优化问题，例如联合波束成形和功率控制问题。
