信号与系统第六章（拉普拉斯变换）

一、拉普拉斯变换

1、拉普拉斯变换公式

（1）一个单位冲激响应为 $h(t)$ 的线性时不变系统，对 $e^{st}$ 复数输入信号的响应 $y(t)$ 为 $y(t)=H(s)e^{st}$ ，其中 $H(s)=\int_{-\infty }^{+\infty }h(t)e^{-st}dt$ ，若s为纯虚数（即 $s=j\omega$ ），则 $H(s)$ 对应于 $h(t)$ 的傅里叶变换，对一般的复变量s来说， $H(s)$ 称为单位冲激响应 $h(t)$ 的拉普拉斯变换。

（2）一个信号 $x(t)$ 的拉普拉斯变换定义为 $X(s)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-st}dt$ ，复变量s一般可写成 $s=\sigma +j\omega$ ，其中 $\sigma$ 和 $\omega$ 分别是它的实部和虚部，另外常把 $x(t)$ 和 $X(s)$ 的变换关系记为

（3） $x(t)$ 的拉普拉斯变换可以看成是 $x(t)$ 乘以一个实指数信号以后的傅里叶变换，即

2、收敛域ROC和零-极点图

（1）拉普拉斯变换与傅里叶变换一样存在收敛问题，并非任何信号的拉普拉斯变换都存在，也不是s平面上的任何复数都能使拉普拉斯变换收敛。

（2）在给出一个信号的拉普拉斯变换时，代数表示式和该表示式能成立的变量s值的范围都应该给出。

（3）一般称使积分式 $X(s)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-st}dt$ 收敛的s值的范围为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。

（4）如果一个信号的拉普拉斯变换的ROC包含 $j\omega$ 轴（ $\sigma=0$ ），则信号的傅里叶变换也存在。

（5）对于有理拉普拉斯变换来说，在分子多项式的那些根上有 $X(s)=0$ ，故称分子多项式的根为 $X(s)$ 的零点；在分母多项式的那些根上有 $X(s)$ 变成无界，故称分母多项式的根为 $X(s)$ 的极点。（如果某个零点和某个极点相同，可以相互抵消）

（6）通过s平面内的极点（用“×表示”）和零点（用“○”表示）的 $X(s)$ 的表示就称为 $X(s)$ 的零-极点图。

3、举例

（1）例1：

（2）例2：

（3）例3：

（4）例4：

二、拉普拉斯变换收敛域

1、性质

（1） $X(s)$ 的收敛域在s平面内是由平行于 $j\omega$ 轴的带状区域组成的。

（2）对有理拉普拉斯变换来说，收敛域内不包括任何极点。

（3）如果 $x(t)$ 是有限持续期的，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个s平面。

（4）如果 $x(t)$ 是右边信号，并且 $Re\left \{ s \right \}=\sigma _{0}$ 这条线位于收敛域内，那么 $Re\left \{ s \right \}>\sigma _{0}$ 的全部s值都一定在收敛域内。

（5）如果 $x(t)$ 是左边信号，并且 $Re\left \{ s \right \}=\sigma _{0}$ 这条线位于收敛域内，那么 $Re\left \{ s \right \}<\sigma _{0}$ 的全部s值都一定在收敛域内。

（6）如果 $x(t)$ 是双边信号，并且 $Re\left \{ s \right \}=\sigma _{0}$ 这条线位于收敛域内，收敛域就一定由s平面的一条带状区域组成，直线 $Re\left \{ s \right \}=\sigma _{0}$ 位于该区域内。

（7）如果 $x(t)$ 的拉普拉斯变换 $X(s)$ 是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远，另外，在收敛域内不包含 $X(s)$ 的任何极点。

（8）如果 $x(t)$ 的拉普拉斯变换 $X(s)$ 是有理的，那么若 $x(t)$ 是右边信号，则其收敛域在s平面上位于最右边极点的右边，若 $x(t)$ 是左边信号，则其收敛域在s平面上位于最左边极点的左边。

2、举例

（1）例1：

（2）例2：

（3）例3：

三、拉普拉斯变换的性质

1、线性性质

2、时移性质

3、s域平移性质

4、时域尺度变换性质

5、共轭性质

6、卷积性质

7、时域微分性质

8、s域微分性质

9、时域积分性质

10、初值定理与终值定理

四、常用拉普拉斯变换对列表

五、用拉普拉斯变换分析与表征线性时不变系统

1、概述

（1）根据拉普拉斯变换的卷积性质，一个线性时不变系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的，即 $Y(s)=H(s)X(s)$ ，其中 $X(s)$ 、 $Y(s)$ 和 $H(s)$ 分别是系统输入、输出和单位冲激响应的拉普拉斯变换。

（2）当 $s=j\omega$ 时， $H(s)$ 就是这个线性时不变系统的频率响应。在拉普拉斯变换的范畴内，一般称 $H(s)$ 为系统函数或传递函数，线性时不变系统的很多性质都与系统函数在s平面的特性密切相关。

2、因果性

（1）一个因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面。

（2）对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就等效于收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。

3、稳定性

（1）当且仅当系统函数 $H(s)$ 的收敛域包括 $j\omega$ 轴，即 $Re\left \{ s \right \}=0$ 时，一个线性时不变系统就是稳定的。

（2）当且仅当系统函数 $H(s)$ 的全部极点都位于s平面的左半平面时，也即全部极点都有负实部时，一个具有有理系统函数 $H(s)$ 的因果系统才是稳定的。

4、由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统

（1）在第四章中已经介绍利用傅里叶变换来得到一个由线性常系数微分方程表征的频率响应，而无需首先解出单位冲激响应或时域解，采用完全类似的方式，拉普拉斯变换的性质也能用来直接求得一个由线性常系数微分方程所表征系统的系统函数。

（2）一般解法：

六、系统函数的代数属性与方框图表示

1、线性时不变系统互联的系统函数

（1）考虑两个系统的并联，总系统的单位冲激响应是 $h(t)=h_{1}(t)+h_{2}(t)$ ，根据拉普拉斯变换的线性性质，有 $H(s)=H_{1}(s)+H_{2}(s)$ 。

（2）考虑两个系统的级联，总系统的单位冲激响应是 $h(t)=h_{1}(t)*h_{2}(t)$ ，根据拉普拉斯变换的卷积性质，有 $H(s)=H_{1}(s)H_{2}(s)$ 。

（3）下图所示的是两个线性时不变系统的反馈互联，其传递函数为 $H(s)=\frac{H_{1}(s)}{1+H_{1}(s)H_{2}(s)}$ 。

2、由微分方程和有理系统函数描述的因果线性时不变系统的方框图表示

（1）利用相加、乘以一个系数和积分这些基本运算，可以构造一阶甚至高阶微分方程描述的线性时不变系统的方框图，不过这里积分器有新的表示形式 $\frac{1}{s}$ （一个积分器的系统函数）。

（2）举例：

①例1：

②例2：

③例3：

七、单边拉普拉斯变换

1、定义

（1）在此之前，本章提到的“拉普拉斯变换”全称为“双边拉普拉斯变换”，本节介绍的则是“单边拉普拉斯变换”。

（2）一个连续时间信号 $x(t)$ 的单边拉普拉斯变换定义为 $\chi (s)=\int_{0^{-}}^{+\infty }x(t)s^{-st}dt$ 。

（3）在 $t<0$ 时不同，而在 $t\geq 0$ 时相同的两个信号，将有不同的双边拉普拉斯变换，而有相同的单边拉普拉斯变换；任何在 $t<0$ 时都为零的信号，其双边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯变换相同。

（4）单边拉普拉斯变换的一个主要应用是求解具有非零初始条件的线性常系数微分方程。