力扣第240题“搜索二维矩阵 II”

在本篇文章中，我们将详细解读力扣第240题“搜索二维矩阵 II”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何在一个已排序的二维矩阵中高效地查找目标值，并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释，以便于理解。

问题描述

力扣第240题“搜索二维矩阵 II”描述如下：

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵中的一个目标值。该矩阵具有以下特性：

每行的元素从左到右升序排列。
每列的元素从上到下升序排列。

示例:
输入: matrix = [[1,   4,  7, 11, 15],[2,   5,  8, 12, 19],[3,   6,  9, 16, 22],[10, 13, 14, 17, 24],[18, 21, 23, 26, 30]
], target = 5
输出: true
示例:
输入: matrix = [[1,   4,  7, 11, 15],[2,   5,  8, 12, 19],[3,   6,  9, 16, 22],[10, 13, 14, 17, 24],[18, 21, 23, 26, 30]
], target = 20
输出: false

解题思路

方法一：从矩阵右上角开始搜索

初步分析：
- 由于矩阵的每行和每列都分别是递增的，我们可以利用这一特性从矩阵的右上角开始查找目标值。
- 在右上角：
  - 如果当前值大于目标值，则可以排除当前列，即向左移动；
  - 如果当前值小于目标值，则可以排除当前行，即向下移动。
步骤：
- 初始化指针 row 为 0（第一行），col 为矩阵的最右列。
- 在 row 小于矩阵的行数且 col 大于等于 0 的条件下，循环进行以下操作：
  - 如果当前元素等于目标值，返回 true；
  - 如果当前元素大于目标值，向左移动 col--；
  - 如果当前元素小于目标值，向下移动 row++。
- 如果循环结束仍未找到目标值，返回 false。

代码实现

python">def searchMatrix(matrix, target):if not matrix or not matrix[0]:return Falserow, col = 0, len(matrix[0]) - 1while row < len(matrix) and col >= 0:if matrix[row][col] == target:return Trueelif matrix[row][col] > target:col -= 1else:row += 1return False# 测试案例
matrix = [[1, 4, 7, 11, 15],[2, 5, 8, 12, 19],[3, 6, 9, 16, 22],[10, 13, 14, 17, 24],[18, 21, 23, 26, 30]
]
print(searchMatrix(matrix, 5))  # 输出: True
print(searchMatrix(matrix, 20))  # 输出: False

复杂度分析

时间复杂度：O(m + n)，其中 m 是矩阵的行数，n 是矩阵的列数。每次查找操作都会减少一行或一列，因此最坏情况下需要遍历 m + n 个元素。
空间复杂度：O(1)，只使用了常数级别的额外空间。

模拟面试问答

问题 1：你能描述一下如何解决这个问题的思路吗？

回答：我们可以从矩阵的右上角开始查找目标值。由于矩阵每行从左到右递增、每列从上到下递增，因此可以利用这个特性。如果当前元素大于目标值，我们可以向左移动以缩小搜索范围；如果当前元素小于目标值，我们可以向下移动。通过这种方式，我们可以在 O(m + n) 的时间复杂度内查找目标值。

问题 2：为什么选择从右上角开始搜索来解决这个问题？

回答：从右上角开始搜索能够有效利用矩阵的递增特性。如果从右上角开始查找，既可以通过比较大小决定向左还是向下移动，这样每次操作都会缩小搜索范围。相比其他起始点，从右上角开始搜索是一种简单且高效的方法。

问题 3：你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？

回答：时间复杂度是 O(m + n)，其中 m 是矩阵的行数，n 是矩阵的列数。每次查找操作都会减少一行或一列，因此最多需要进行 m + n 次操作。空间复杂度为 O(1)，因为只使用了常数级别的额外空间。

问题 4：在代码中如何处理边界情况？

回答：对于空矩阵或矩阵中的空行，直接返回 false。在循环中，检查行列索引是否超出范围，如果 row 超过矩阵的行数或 col 变为负数，则停止搜索。通过这些边界条件的判断，代码能够处理各种情况。

问题 5：你能解释一下右上角开始搜索在这个问题中的具体作用吗？

回答：右上角的元素是当前行的最大值和当前列的最小值，因此每次比较目标值时，我们都可以通过元素的大小关系来决定是向左移动还是向下移动。这样我们可以每次都有效缩小搜索范围，避免不必要的遍历，从而在 O(m + n) 的时间内完成搜索。

问题 6：在代码中如何确保返回的结果是正确的？

回答：通过逐步缩小搜索范围，每次都确保当前搜索的位置是合理的。测试用例验证了不同情况下的搜索结果，包括目标值在矩阵中和不在矩阵中的情况，确保代码返回正确的结果。

问题 7：你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗？

回答：在面试中，如果被问到如何优化算法，我会首先分析当前算法的时间复杂度和空间复杂度。由于算法的时间复杂度已经是 O(m + n)，进一步优化的空间有限，但可以讨论如何优化代码的可读性和简洁性，或者是否可以通过预处理矩阵提高查询的效率。

问题 8：如何验证代码的正确性？

回答：通过编写详细的测试用例，涵盖各种可能的输入情况，如空矩阵、目标值在矩阵中、目标值不在矩阵中等，确保每个测试用例的结果都符合预期。此外，还可以通过手工推演搜索过程，验证代码逻辑的正确性。

问题 9：你能解释一下解决“搜索二维矩阵 II”问题的重要性吗？

回答：解决“搜索二维矩阵 II”问题展示了对二维数组的处理能力，尤其是在已排序数据中的高效查找。通过掌握这个问题的解决方法，可以提高对二维数组搜索算法的理解，并为解决更复杂的搜索问题打下基础。

问题 10：在处理大数据集时，算法的性能如何？

回答：由于算法的时间复杂度为 O(m + n)，即使在大数据集下性能表现也很稳定。算法每次搜索都能有效缩小范围，因此即使矩阵非常大，算法也能在线性时间内找到结果。空间复杂度为 O(1)，确保了在大规模数据下的内存使用效率。

总结

本文详细解读了力扣第240题“搜索二维矩阵 II”，通过从右上角开始搜索的方法高效地查找二维矩阵中的目标值，并提供了详细的解释和模拟面试问答。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。