二叉搜索树是一个很重要的数据结构,它的特殊结构可以在很短的时间复杂度找到我们想要的数据。最坏情况下的时间复杂度是O(n),最好是O(logn)。接下来看一看它的接口函数的实现。
为了使用方便,这里采用模版的方式:
一、节点
template <class K>
struct BSnode
{BSnode(K key):_key(key){}K _key;BSnode* _left = nullptr;BSnode* _right = nullptr;
};
_key用来储存数据,_left和_right用来储存左子树和右子树的节点。
二、搜索树的类的定义
template <class K>
class BSTree
{
private:using Node = BSnode<K>;Node* _root = nullptr;
};
这里typedef了BSnode<K>为Node的类型,方便使用。并创建了根节点,缺省值为空指针。
三、搜索树的插入
搜索树的结构是左子树所有节点的值小于等于根结点的值,右子树所有节点的值大于等于根节点的值。在这里我不考虑等于的情况,即一棵树中不允许出现相同的值。代码如下:
//搜索树的插入bool Insert(K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;if (cur == nullptr){_root = new Node(key);}else{while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}if (key > parent->_key)//插入的值大于父亲节点,那么就需要在父亲节点的右边插入{parent->_right = new Node(key);}else//插入的值小于父亲节点,那么就需要在父亲节点的左边插入{parent->_left = new Node(key);}}return true;}
代码大体情况如下:
1.第一次插入数据的时候,根节点指向空,需要单独讨论。
2.根节点不为空,那么就根据搜索树的特点找到最后插入的位置,申请新节点,连接新节点。
3.找不到插入的位置,即插入的数据已经存在,返回false。
四、搜索树的查找
//搜索树的查找Node* Find(const K& key){assert(_root);Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;}
这段代码是根据搜索树的特点进行查找(搜索的值大于根,那么去右子树查找,小于则去左子树查找),倘若找到,返回该节点指针,找不到,返回空指针。
五、搜索树的删除
搜索树的删除偏向复杂,在我写出的代码中大致分为以下几点:
1.删除的数据在叶子节点上。
2.删除的节点不在叶子节点上,但是它的左右节点至少有一个是空。
3.删除的节点不在叶子节点上,且左右子树都不为空。
4.删除的节点在根节点,根节点至少有一个为空。
通过总结可以精简以上条件:
1.删除的节点的左右节点至少有一个为空。
2.删除的节点的左右节点都不为空。
代码如下:
//搜索二叉树的删除bool Erase(const K& key){assert(_root);//先找到要删除的节点Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{break;}}//找不到要删除的数据,返回falseif (cur == nullptr)return false;//找到了//处理“该节点的左孩子或者右孩子为空,或者左右孩子均为空”if (cur->_left == nullptr || cur->_right == nullptr){//该节点是根,且且根节点至少一个子树为空if (parent == nullptr)//parent为空,证明输入的是根节点,且根节点至少一个子树为空 {_root->_left == nullptr ? _root = _root->_right : _root = _root->_left;delete cur;}//该节点是左孩子else if (cur == parent->_left){//左节点为空if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr){parent->_left = cur->_right;}//右节点为空else if(cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr){parent->_left = cur->_left;}//左右节点均为空else{parent->_left = nullptr;}//释放资源delete cur;}//该节点是右孩子else if (cur == parent->_right){//左节点为空if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr){parent->_right = cur->_right;}//右节点为空else if (cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr){parent->_right = cur->_left;}//左右节点均为空else{parent->_right = nullptr;}//释放资源delete cur;}}
//处理“该节点的左右孩子均不为空”else{//找到左节点的最大值Node* Fparent = cur;Node* Fcur = cur->_left;while (Fcur ->_right){Fparent = Fcur;Fcur = Fcur->_right;}//交换节点的值cur->_key = Fcur->_key;//Fcur的左边有数据if (Fcur->_left){Fparent->_right = Fcur->_left;delete Fcur;}//Fcur的左边没有数据else{if(Fcur == Fparent->_left){Fparent->_left = nullptr;}else{Fparent->_right = nullptr;}delete Fcur;}}return true;}
首先是先要找到删除的数据,若找不到,返回false,若找到,那么进行下一步:
找到后还有如下情况:
1.删除的节点的左右节点至少有一个为空。
对应代码:
//处理“该节点的左孩子或者右孩子为空,或者左右孩子均为空”if (cur->_left == nullptr || cur->_right == nullptr){//该节点是根,且且根节点至少一个子树为空if (parent == nullptr)//parent为空,证明输入的是根节点,且根节点至少一个子树为空 {_root->_left == nullptr ? _root = _root->_right : _root = _root->_left;delete cur;}//该节点是左孩子else if (cur == parent->_left){//左节点为空if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr){parent->_left = cur->_right;}//右节点为空else if(cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr){parent->_left = cur->_left;}//左右节点均为空else{parent->_left = nullptr;}//释放资源delete cur;}//该节点是右孩子else if (cur == parent->_right){//左节点为空if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr){parent->_right = cur->_right;}//右节点为空else if (cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr){parent->_right = cur->_left;}//左右节点均为空else{parent->_right = nullptr;}//释放资源delete cur;}}
原理:由于删除的节点左右子树至少有一个为空,那么就可以让父节点继承被删除节点的非空节点。继承后,删除该节点。如果被删除的节点的左右子树都为空,即被删除的节点是叶子节点,那么就可以直接删除叶子节点,然后将父节点指向空。
以上代码分别对删除的节点是左子树还是右子树的情况下,删除的节点是否有左子树,是否有右子树,还是左右子树都没有进行讨论,涵盖所有情况。值得注意的是,当搜索树呈现链状的时候,如果删除的是根节点,此时的父节点是空,不能进行访问,那么需要在这里单独讨论。将根节点移动到有数据的那个子节点。
2.删除的节点的左右节点都不为空。
对应代码:
//处理“该节点的左右孩子均不为空”else{//找到左节点的最大值Node* Fparent = cur;Node* Fcur = cur->_left;while (Fcur ->_right){Fparent = Fcur;Fcur = Fcur->_right;}//交换节点的值cur->_key = Fcur->_key;//Fcur的左边有数据if (Fcur->_left){Fparent->_right = Fcur->_left;delete Fcur;}//Fcur的左边没有数据else{if(Fcur == Fparent->_left){Fparent->_left = nullptr;}else{Fparent->_right = nullptr;}delete Fcur;}}
第二种情况就不能直接进行交换。因为父节点没有多余的指针指向被删除节点的左右节点。那么在这里的思想是找到一个比被删除的节点的左孩子大,右孩子小。符合条件的是:左子树的最大值,或者右子树的最小值。找到之后交换节点值。但是还是需要注意的是,找到最大值以后,分为两种情况:
a.最大值的左边为空。
b.最大值的左边不为空。
那么进行讨论:比如删除的数据是8。
a.最大值的左边为空:
这个条件下可以直接交换删除
b.最大值的左边不为空:
这种情况下就需要将父节点的右节点(最大值的位置)指向最大值的左节点。
在这段代码中:
//找到左节点的最大值Node* Fparent = cur;Node* Fcur = cur->_left;while (Fcur ->_right){Fparent = Fcur;Fcur = Fcur->_right;}
Node* Fparent = cur;的目的是避免这种情况下,空指针解引用的问题:删除的数据是3:
倘若Fparent 为空
此时Fcur已经为叶子节点(已经为3的左子树的最大值),while循环不会进而以下代码会对Fparent解引用,造成访问空指针的错误。如果将Fparent复制为cur,那么从一开始,Fparent就是Fcur的父节点,既不违反逻辑,也解决了问题。
因为此时1在父节点的左边,所以综上所述,再删除节点的同时也是需要判断被删除的节点是左节点还是右节点。
示例:
int main()
{BSTree<int> tree;int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };for (auto f : a){tree.Insert(f);}for (auto f : a){tree.Erase(f);tree.InTraversal();cout << endl;}return 0;
}
结果(中序遍历):