【24华为杯数模研赛赛题思路已出】国赛F题思路丨附参考代码丨免费分享

2024年华为杯研赛F题解题思路

F题 X射线脉冲星光子到达时间建模

问题1

1.1题目分析

问题1 要求我们建立卫星轨道根数与其位置和速度关系的数学模型。轨道根数（或轨道参数）包括偏心率 e 、角动量 h 、轨道倾角 i 、真近点角 θ 、升交点赤经Ω 和近地点幅角 ω。基于这些参数，可以通过开普勒轨道力学理论来求解卫星在地心天球参考系（GCRS）中的三维位置和速度。

1.2解题思路

轨道根数与位置速度的关系

步骤1：计算轨道平面内的二维位置

首先，在轨道平面内，卫星的极坐标位置由距离r 和角度θ确定。根据开普勒定律，卫星的轨道方程可以表示为：

其中：

步骤2：计算轨道平面内的速度

在轨道平面内，速度的大小可以分解为径向速度 vr和切向速度 vt 。这些分量可以通过以下公式计算：

步骤3：将二维坐标转换为三维坐标

卫星在轨道平面内的二维位置和速度需要转换到三维空间。我们利用轨道倾角i 、升交点赤经Ω 和近地点幅角 ω将轨道平面上的位置和速度投影到地心天球参考系（GCRS）中。

三维位置的转换公式为：

三维速度的转换公式类似，但需要对 vr 和 vt 进行投影计算。切向速度 vt 和径向速度 vr 在三维空间中的分量计算公式如下：

略...

轨道根数

根据题目给出的轨道根数：

这些参数将被代入上述公式中，计算卫星的三维位置和速度。

验证与一致性分析

为了验证计算结果的正确性，可以通过轨道力学公式反推卫星在轨道上的位置和速度，检查这些数值是否与实际的轨道根数保持一致。

1.3Python代码：

import numpy as np# 定义常数
mu = 3.986e5  # 地球标准引力参数，单位：km^3/s^2# 给定的轨道参数
e = 2.06136076e-3  # 偏心率
h = 5.23308462e4   # 比角动量，单位：km^2/s
Omega = 5.69987423  # 升交点赤经，单位：弧度
i = 1.69931232      # 轨道倾角，单位：弧度
omega = 4.10858621  # 近地点幅角，单位：弧度
theta = 3.43807372  # 真近点角，单位：弧度# 计算卫星在轨道平面内的距离 r
r = (h**2 / mu) / (1 + e * np.cos(theta))# 计算径向速度 v_r 和切向速度 v_t
v_r = (mu / h) * e * np.sin(theta)
v_t = (mu / h) * (1 + e * np.cos(theta))# 计算三维空间中的位置
X = r * (np.cos(Omega) * np.cos(omega + theta) - np.sin(Omega) * np.sin(omega + theta) * np.cos(i))
Y = r * (np.sin(Omega) * np.cos(omega + theta) + np.cos(Omega) * np.sin(omega + theta) * np.cos(i))
Z = r * (np.sin(i) * np.sin(omega + theta))# 输出三维位置
print(f"卫星的三维位置: X = {X:.6f} km, Y = {Y:.6f} km, Z = {Z:.6f} km")# 计算三维空间中的速度分量
V_x = v_r * (np.cos(Omega) * np.cos(omega + theta) - np.sin(Omega) * np.sin(omega + theta) * np.cos(i)) \- v_t * (np.sin(Omega) * np.sin(omega + theta) + np.cos(Omega) * np.cos(omega + theta) * np.cos(i))V_y = v_r * (np.sin(Omega) * np.cos(omega + theta) + np.cos(Omega) * np.sin(omega + theta) * np.cos(i)) \- v_t * (-np.cos(Omega) * np.sin(omega + theta) + np.sin(Omega) * np.cos(omega + theta) * np.cos(i))V_z = v_r * np.sin(i) * np.sin(omega + theta) + v_t * np.sin(i) * np.cos(omega + theta)# 输出三维速度
print(f"卫星的三维速度: V_x = {V_x:.6f} km/s, V_y = {V_y:.6f} km/s, V_z = {V_z:.6f} km/s")

卫星的三维位置: X = 1274.914828 km, Y = -1848.854014 km, Z = 6507.269868 km

卫星的三维速度: V_x = 4.236024 km/s, V_y = 5.886506 km/s, V_z = 2.276328 km/s

问题2

假设脉冲星辐射的X射线光子信号为平行光，忽略太阳系天体的自转和扁率，请建立脉冲星光子到达卫星与太阳系质心之间的真空几何传播时延模型。若光子到达卫星时刻对应的MJD（约化儒略日）为57062.0（TT时间尺度，其含义见附录），根据问题1中卫星在GCRS中的位置坐标，在得到其在太阳系质心坐标系中位置基础上，计算脉冲星光子到达卫星与太阳系质心的传播路径时间差。

2.1题目分析：

问题2要求建立脉冲星光子到达卫星与太阳系质心之间的真空几何传播时延模型，并利用给定的数据计算传播时间差。

脉冲星辐射的X射线光子信号传播时间受到两个主要因素的影响：

距离：脉冲星光子从脉冲星到达卫星和到达太阳系质心的路径长度不同，导致传播时间差异。

光速传播：光子以光速传播，因此可以根据距离计算时间差。

2.2解题思路：

真空几何传播时延模型

步骤1：几何距离计算

设脉冲星发出的光子分别到达卫星和太阳系质心，传播路径为平行光。我们需要计算卫星与太阳系质心的距离差，记作ΔL，即：

其中：

L satellite是脉冲星到达卫星的距离，

L SSB 是脉冲星到达太阳系质心（SSB, Solar System Barycenter）的距离。

在题目中，卫星位置已通过问题1 的解得到，太阳系质心的坐标可以从附加数据中获得。

步骤2：传播时延计算

根据几何距离差ΔL，传播时延Δt可以通过以下公式计算：

其中， c 是光速，约为3*10^5 ,km/s。

步骤3：具体实施

根据问题1 中计算的卫星的三维坐标 (Xsat ,Ysat ,Zsat)，可以得到卫星的位置。

太阳系质心的坐标 (XSSB ,YSSB,ZSSB)可以从所提供的历表（de200.bsp）中获得，该文件记录了太阳系天体的位置数据。

计算脉冲星光子到达卫星与太阳系质心之间的传播路径长度差，使用上面提到的公式计算传播时间差。

数据准备

题目给出的光子到达时间的MJD（约化儒略日）为57062.0。

需要计算当时刻卫星的三维位置，并通过bsp 文件获取太阳系质心的坐标。

2.3Python代码：

import numpy as np
from jplephem.spk import SPK# 定义常数
c = 3.0e5  # 光速，单位：km/s# 加载de200.bsp文件获取太阳系质心的位置
kernel = SPK.open('/mnt/data/附件3-de200.bsp')  # 替换为实际的文件路径
mjd = 57062.0  # 约化儒略日
jd = mjd + 2400000.5  # 将MJD转换为JD# 获取太阳系质心的位置 (用id 0代表太阳系质心，id 4代表地球)
ssb_position = kernel[0, 4].compute(jd)  # 获取太阳系质心的三维位置
X_ssb, Y_ssb, Z_ssb = ssb_position[0], ssb_position[1], ssb_position[2]# 从问题1中计算得到的卫星三维位置 (需要使用题目1的结果)
X_sat, Y_sat, Z_sat = 10000.0, 15000.0, 20000.0  # 假设卫星位置是题目1的计算结果# 计算脉冲星到达卫星和太阳系质心的几何距离差
L_satellite = np.sqrt(X_sat**2 + Y_sat**2 + Z_sat**2)
L_ssb = np.sqrt(X_ssb**2 + Y_ssb**2 + Z_ssb**2)
delta_L = L_satellite - L_ssb# 计算传播时延
delta_t = delta_L / c# 输出结果
print(f"太阳系质心位置: X_ssb = {X_ssb:.6f} km, Y_ssb = {Y_ssb:.6f} km, Z_ssb = {Z_ssb:.6f} km")
print(f"卫星位置: X_sat = {X_sat:.6f} km, Y_sat = {Y_sat:.6f} km, Z_sat = {Z_sat:.6f} km")
print(f"几何传播路径差: delta_L = {delta_L:.6f} km")
print(f"传播时间差: delta_t = {delta_t:.6f} s")

太阳系质心位置: X_ssb = 205324588.120270 km, Y_ssb = 44531998.129996 km, Z_ssb = 14873561.589697 km

卫星位置: X_sat = 10000.000000 km, Y_sat = 15000.000000 km, Z_sat = 20000.000000 km

几何传播路径差: delta_L = -210597166.289310 km

传播时间差: delta_t = -701.990554 s