InfoNCE 损失与互信息的关系推导

为了理解 InfoNCE 损失与互信息的关系，首先我们回顾两个公式的基本形式：

1. 互信息 $I(X;Y)$：
   互信息 $I(X;Y)$ 用来衡量两个变量 $X$ 和 $Y$ 之间共享的信息量，定义为：

   $$I(X;Y)={\mathbb{E}}_{p(x,y)}\left[\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\right]$$

   互信息背景知识看这篇

2. InfoNCE 损失公式：
   InfoNCE 损失用于对比学习，通过最大化正样本之间的相似性、最小化负样本之间的相似性，定义为：

   $${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}=-\log \frac{\exp (\text{sim}(q,x^{+}))}{{\sum }_{i=0}^N\exp (\text{sim}(q,x_i))}$$

   其中 $x^{+}$ 是正样本，$x_i$ 是负样本，$\text{sim}(q,x)$ 表示查询样本 $q$ 与样本 $x$ 之间的相似度（通常使用内积或余弦相似度）。

我们现在要推导出 InfoNCE 损失和互信息的关系，步骤如下：

1. InfoNCE 损失的解释

首先，我们把 InfoNCE 损失用概率的形式进行改写。可以将相似度 $\text{sim}(q,x)$ 看作是负的能量函数，用来估计联合概率 $p(x,q)$ 的对数：
$$\text{sim}(q,x)=\log p(x,q)$$
因此，InfoNCE 损失的形式可以被解释为对正样本联合概率和负样本对的联合概率的对比：

$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}=-\log \frac{\exp (\text{sim}(q,x^{+}))}{{\sum }_{i=0}^N\exp (\text{sim}(q,x_i))}=-\log \frac{\exp (\log p(x^{+},q))}{{\sum }_{i=0}^N\exp (\log p(x_i,q))}=-\log \frac{p(x^{+},q)}{{\sum }_{i=0}^{N}p(x_i,q)}$$

2. 联合概率与边缘概率

为了与互信息的形式建立联系，接下来我们对比联合概率 $p(x,q)$ 和边缘概率 $p(x)$ 与 $p(q)$。InfoNCE 损失通过将正样本与负样本对比来最大化正样本的联合概率。

我们将 InfoNCE 的分母部分拆解为：
$$\sum _{i=0}^{N}p(x_i,q)=p(x^{+},q)+\sum _{i=1}^{N}p(x_i^{-},q)$$

假设负样本 $x_i^{-}$ 来自于 $p(x)$ 的边缘分布，而正样本 $x^{+}$ 是从联合分布 $p(x,q)$ 中采样的。因此，负样本的联合概率可以看作是 $p(x_i^{-},q)=p(x_i^{-})p(q)$，即将边缘概率 $p(x_i^{-})$ 乘以查询样本的边缘概率 $p(q)$。

这意味着分母部分可以写成：
$$\sum _{i=0}^{N}p(x_i,q)\approx p(x^{+},q)+N\cdot p(x^{-})p(q)$$
这个公式表明正样本 $p(x^{+},q)$ 来自联合分布，而负样本是基于边缘分布 $p(x^{-})$ 和 $p(q)$ 的独立抽样。

3. 将 InfoNCE 损失形式与互信息公式对比

我们将 InfoNCE 损失公式代入上面的分解：
$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}=-\log \frac{p(x^{+},q)}{p(x^{+},q)+N\cdot p(x^{-})p(q)}$$

为了理解这一点，我们可以考虑当 $N$ 很大时，负样本对占主导地位，因此该公式可以近似为：
$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}\approx -\log \frac{p(x^{+},q)}{N\cdot p(x^{-})p(q)}$$

此时，$N$ 仍然在对数函数的内部。为了让这个表达式更接近互信息的形式，我们需要将 $N$ 从对数内部移到外部。

我们可以将这个表达式进一步简化：
$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}\approx -\log \frac{p(x^{+},q)}{p(x)p(q)}+\log N$$

现在这个公式的第一项 $-\log \frac{p(x^{+},q)}{p(x)p(q)}$ 正是互信息的形式。第二项 $\log N$ 是一个常数项，它与数据集中负样本的数量 $N$ 相关。

因此，经过重新推导，InfoNCE 损失在 $N$ 很大时近似为互信息的下界，并且可以写成如下形式：
$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}\approx -\mathbb{E}\left[\log \frac{p(x^{+},q)}{p(x)p(q)}\right]+\log N$$

这表明 InfoNCE 损失包含了互信息 $I(X;Y)$ 的一个近似项，另外加上一个与 $N$ 相关的对数常数项 $\log N$。

为什么可以引入期望 $\mathbb{E}$ ，以及期望是从哪里来的。

1. 引入期望的原因

在 InfoNCE 损失函数中，正样本对 $(x^{+},q)$ 和负样本对 $(x_i^{-},q)$ 都是从数据中采样得到的。这意味着 InfoNCE 是对一组样本对的损失值进行计算的。但在推导互信息时，我们通常计算的是所有可能的样本对上的平均值，而不仅仅是单一的样本对。因此，为了从单个样本对的 InfoNCE 损失推广到整个数据集的平均损失，我们可以引入一个期望 $\mathbb{E}$，表示对整个数据分布进行平均。

互信息的公式本质上是对所有可能的 $(x,q)$ 对的联合分布 $p(x,q)$ 和边缘分布 $p(x)p(q)$ 计算的期望值：
$$I(X;Y)={\mathbb{E}}_{p(x,q)}\left[\log \frac{p(x,q)}{p(x)p(q)}\right]$$

在这种情况下，我们可以理解为在整个数据分布上计算 InfoNCE 损失的期望。也就是说，${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}$ 不仅仅是针对一个正样本 $(x^{+},q)$ 进行计算，而是针对所有正样本对 $(x,q)$ 的平均损失。为了将 InfoNCE 损失与互信息的定义对齐，我们引入了期望 $\mathbb{E}$ 来表示这个平均过程。

2. 期望的具体来源

在推导 InfoNCE 与互信息的关系时，我们处理的是某一对正样本 $(x^{+},q)$ 的损失值。但我们要计算的是整个数据集上所有正样本对的平均损失，也就是期望值。因此，为了推广到整个数据集，我们需要在公式中引入期望。

因此，基于上述的解释，我们可以将 InfoNCE 的近似公式写成期望的形式：
$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}\approx -{\mathbb{E}}_{p(x,q)}\left[\log \frac{p(x,q)}{p(x)p(q)}\right]+\log N$$

这个期望 ${\mathbb{E}}_{p(x,q)}$ 表示对所有可能的正样本对 $(x,q)$ 进行计算，而不是只计算某一个特定样本对。

3. 互信息的期望形式

互信息的定义：
$$I(X;Y)={\mathbb{E}}_{p(x,y)}\left[\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\right]$$
也是一个关于所有可能的 $(x,y)$ 对的期望。通过 InfoNCE 损失对正样本对进行优化，本质上就是在最大化这些正样本对的互信息，因此引入期望是为了与互信息的定义保持一致。

4. 总结

引入期望 $\mathbb{E}$ 是为了表明我们不仅仅是在一个正样本对上计算 InfoNCE 损失，而是在整个数据分布上对所有正样本对计算其平均损失。这样可以推广单个 InfoNCE 损失到全局，体现它与互信息最大化的关系。

这就接近于互信息的公式形式：
$$I(X;Y)={\mathbb{E}}_{p(x,y)}\left[\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\right]$$

问题：但是互信息$$I(X;Y)={\mathbb{E}}_{p(x,y)}\left[\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\right]$$里面的log分子分母都是$x$,而${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}$里面的分子是正样本$x^{+}$,而分母是负样本$x$。参看下面的“infoNCE和互信息的分母不同”

因此，InfoNCE 损失通过最大化正样本对的联合概率和最小化负样本对的边缘概率，从而实现对正样本和负样本之间互信息的优化。

4. 数学上的关系：InfoNCE 是互信息的下界

通过上述推导，InfoNCE 损失可以被视为互信息的一个下界。根据 Mutual Information Neural Estimation (MINE) 的理论，InfoNCE 损失在一定条件下逼近于互信息的一个对比下界。MINE 使用的是一种基于对比学习的策略，通过优化 $p(x^{+},q)$ 和 $p(x)p(q)$ 之间的比率来逼近互信息。

5. 总结

通过推导，InfoNCE 损失通过对正负样本的对比，隐式地在最大化正样本对之间的联合概率 $p(x^{+},q)$ 和负样本对之间的边缘概率 $p(x)p(q)$ 之间的比率，从而实现了对互信息的近似最大化。因此，InfoNCE 损失实际上是互信息的一个下界，它通过对比学习的方式来实现这一点。

将相似度 $\text{sim}(q,x)$ 看作是负的能量函数

这个角度有点像基于能量的扩散模型的角度

将相似度函数 $\text{sim}(q,x)$ 视为负的能量函数并用来估计联合概率 $p(x,q)$ 的对数是从**能量基模型（Energy-Based Models, EBM）**的思想得来的。在这种模型中，能量函数定义了一种状态的“能量”，而状态的概率分布可以通过将能量转换为概率来表示。这个过程通常用指数函数来完成，因此能量越低，概率越高。

1. 能量基模型背景

能量基模型的核心思想是给定一对输入 $(q,x)$，通过一个能量函数 $E(q,x)$ 来衡量这对输入的匹配程度。能量值 $E(q,x)$ 越低，说明 $q$ 和 $x$ 越匹配，概率 $p(x,q)$ 越高。

这里用熵的概念去理解，熵越小，说明越规律，复杂度越低，里面的元素越相近。

通常，联合概率 $p(x,q)$ 可以通过能量函数的指数化来表示：
$$p(x,q)\propto \exp (-E(q,x))$$
这表示能量越小，概率越大。

2. 相似度与能量函数的关系

在 InfoNCE 损失中，$\text{sim}(q,x)$ 用来度量样本 $q$ 和 $x$ 的相似性。为了将这个相似性解释为一种概率，我们可以将相似度视为能量函数的负数。假设相似度函数 $\text{sim}(q,x)$ 与能量函数成反比，即：
$$\text{sim}(q,x)=-E(q,x)$$
因此，联合概率 $p(x,q)$ 可以表示为：
$$p(x,q)\propto \exp (\text{sim}(q,x))$$
这就是将相似度视为负能量函数的原因——高相似度（即低能量）对应于高的联合概率，低相似度（即高能量）对应于低的联合概率。

3. 从相似度到联合概率的推导

我们进一步推导联合概率 $p(x,q)$ 的形式。由于联合概率需要归一化，我们可以将它写成如下形式：
$$p(x,q)=\frac{\exp (\text{sim}(q,x))}{Z}$$
其中 $Z$ 是归一化项，确保 $p(x,q)$ 是一个有效的概率分布，通常称为配分函数或分区函数：
$$Z=\sum _{x^{\prime }}\exp (\text{sim}(q,x^{\prime }))$$
这样，通过将相似度转化为概率，便可以从模型的相似度分数得到联合概率分布 $p(x,q)$。

4. 相似度作为联合概率对数的推导

现在，我们希望将相似度 $\text{sim}(q,x)$ 直接看作联合概率 $p(x,q)$ 的对数。根据上述公式，联合概率 $p(x,q)$ 是相似度的指数化，因此可以直接写出：
$$\text{sim}(q,x)=\log p(x,q)+\log Z$$
这个公式的意义在于，相似度反映了 $q$ 和 $x$ 之间的匹配程度，因此与它们的联合概率成正比。

5. InfoNCE 的解读

在 InfoNCE 损失中，我们希望最大化正样本 $q$ 和 $x^{+}$ 的相似度，同时最小化负样本 $q$ 和 $x^{-}$ 的相似度。通过将相似度看作联合概率的对数，我们可以直接使用相似度来表示 $p(x,q)$，并构建概率模型进行优化。

因此，将相似度函数视为联合概率对数的依据源于能量基模型的思想，即通过能量（或相似度）函数衡量样本间的匹配程度，然后使用指数函数将其转换为概率分布。

6. 总结

将相似度视为负能量函数并用来估计联合概率 $p(x,q)$ 的对数可以通过以下公式推导得到：
$$p(x,q)\propto \exp (\text{sim}(q,x))$$
从而得到：
$$\text{sim}(q,x)=\log p(x,q)+\log Z$$
这个思想基于能量基模型的框架，能量函数的负数代表相似度，高相似度对应高概率，低相似度对应低概率。这种表示法使得我们能够自然地将相似度解释为联合概率的对数。

infoNCE和互信息的分母不同

这是一个很关键的问题，涉及到 InfoNCE 和互信息的本质关系。InfoNCE 损失中确实是通过对正样本对 $(q,x^{+})$ 和负样本对 $(q,x^{-})$ 进行对比学习，而互信息公式中则是计算随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布和边缘分布之间的差异。

1. 互信息公式解释

互信息 $I(X;Y)$ 公式中的 $\frac{p(x,q)}{p(x)p(q)}$ 表示 $X$ 和 $Y$ 之间共享的信息量。它衡量的是 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布 $p(x,q)$ 与边缘概率分布 $p(x)p(q)$ 的差异。在这个公式中，$\log \frac{p(x,q)}{p(x)p(q)}$ 计算的是对于每个 $(x,q)$ 对，联合分布和边缘分布的对数比值。

• 分子 $p(x,q)$：表示 $x$ 和 $q$ 同时出现的联合概率。
• 分母 $p(x)p(q)$：表示 $x$ 和 $q$ 独立出现的概率乘积，即边缘概率。

互信息通过最大化这个比值，来找到那些强相关的 $x$ 和 $q$ 对。

2. InfoNCE 的形式和互信息的区别

在 InfoNCE 损失中，形式上有类似的结构，但是它实际上通过对比学习来优化样本对之间的关系。

InfoNCE 损失公式：

$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}=-\log \frac{p(x^{+},q)}{p(x^{+},q)+N\cdot p(x)p(q)}$$
可以近似为：
$${\mathcal{L}}_{\text{InfoNCE}}\approx -\log \frac{p(x^{+},q)}{N\cdot p(x)p(q)}$$
注意：

• 分子 $p(x^{+},q)$ 代表正样本 $x^{+}$ 和查询样本 $q$ 的联合概率。
• 分母 $N\cdot p(x)p(q)$ 包含了 $N$ 个负样本 $x$，即从数据中抽取的其他样本与 $q$ 的边缘概率乘积。

为什么分子和分母不同？

• 分子 $p(x^{+},q)$：正样本 $x^{+}$ 和 $q$ 是从相同分布中采样的，因此我们希望这个联合概率尽可能大。这对应了互信息中的 $p(x,q)$。
• 分母 $N\cdot p(x)p(q)$：包含了负样本的边缘概率。负样本 $x^{-}$ 并不与查询样本 $q$ 相关，因此我们期望这个值尽可能小。这在对比学习中通过将负样本视为噪声来实现。分母的结构是为了保证与负样本的对比，即降低负样本的相似度，从而强化正样本对的关联。

因此，虽然在形式上看起来 InfoNCE 中的分子和分母不完全对称（正样本在分子，负样本在分母），但这正是对比学习的核心思想——我们通过对正样本和负样本的对比来强化正样本间的关系（对应于 $p(x^{+},q)$），并弱化负样本的影响（对应于 $N\cdot p(x)p(q)$）。

3. 解释互信息优化的视角

InfoNCE 近似于互信息的优化过程是通过以下方式实现的：

• 正样本对的联合概率最大化：这相当于互信息公式中的 $p(x,q)$，我们希望提高 $x^{+}$ 和 $q$ 的匹配度，这也意味着希望它们共享更多的信息。
• 负样本对的边缘概率最小化：通过对比大量负样本，我们希望 $x^{-}$ 和 $q$ 的联合概率接近它们各自的独立概率，即 $p(x)p(q)$，表示它们是无关的。通过这种方式，我们有效地在最大化互信息。

尽管分子和分母中的 $x$ 和 $x^{+}$ 不完全相同，但 InfoNCE 通过对比负样本来强调正样本的关联性，从而间接最大化了互信息。

4. 总结

• 互信息公式中 $\log \frac{p(x,q)}{p(x)p(q)}$ 是在计算 $X$ 和 $Y$ 的联合概率与独立概率之间的比值。
• 在 InfoNCE 中，分子和分母包含正样本 $x^{+}$ 和负样本 $x^{-}$，这是为了通过对比学习来强化正样本的联合概率和弱化负样本的影响。
• InfoNCE 虽然在形式上与互信息不同，但它通过对正样本对最大化联合概率，对负样本对最小化边缘概率，从而间接地在优化正样本对之间的互信息。