机器人建模和控制——马克·斯庞

A.

$x_1^0=x_1\bullet x_0$，其实就是：

1）$x_1$轴向量在$O_0$系下的坐标

2）在$x_0$轴上的投影

3）坐标变换矩阵的$R_1^0$的第一个元素

B.

点p在$o_1{x}_1{y}_1{z}_1$系下的坐标$p^1$可以表示为：$p=u{x}_1+v{y}_1+w{z}_1$，其在$o_0{x}_0{y}_0{z}_0$系下的坐标是$p$在其坐标轴上的投影：$p_x^0=p^1\bullet x_0$

C.

右乘联体，左乘基的理解

$O_0{x}_0{y}_0{z}_0$坐标系相当于基系，方块绕$z_0$旋转，因此左乘。

D.

旋转矩阵的物理意义一般有三种：

1）经过变换后的坐标系相对于固定坐标系的姿态角；

2）点$p$在不同参考坐标系间的相互变换；

3）在同一坐标系内将向量旋转而得到新向量的操作；

E.

称旋转发生时所围绕的坐标系称为当前坐标系

旋转矩阵$R=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1^0& y_1^0& z_1^0\end{array}\right]$分别代表$x_1,y_1,z_1$在$o_0{x}_0{y}_0{z}_0$系下的方向矢量

F.

其次变换矩阵$H$表示了刚体的运动（平移+旋转），表示为：

$H=\left[\begin{array}{cc}R& d\\ & \\ 0& 1\end{array}\right]$

且由于$R$是正交矩阵，有：

$H^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{R}^T& -R^{T}d\\ & \\ 0& 1\end{array}\right]$

G.

对多连杆体而言，每个关节上都相当于固连了一个坐标系$o_i{x}_i{y}_i{z}_i$，其可以保证不论机器人怎么运动，连杆$i$上的点在坐标系$o_i{x}_i{y}_i{z}_i$中固定不变，且同一根连杆的运动状态保持一致。

那么也就是说，多连杆体只需要考虑：

1）整体在惯性系下的运动：建立整体的坐标系（用头部坐标系代替整体）

2）各连杆坐标系的运动：分析运动学

H.

Lagrange方程的动能中，$v$、$\omega$和$I$都是在惯性坐标系下计算的量。

值得注意的是，惯性坐标系下的惯性张量：

$I_{inertia}=RI{R}^T$

联体坐标系中的惯性张量：

$I=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]$

连体坐标系中的惯性张量是常值矩阵，主对角线元素称主惯性矩，非对角线元素称为惯性叉积，若物体质量分布关于坐标轴对称，则惯性叉积=0。

I.

n连杆机器人系统的势能：

$P=\Sigma m_i{g}^T{r}_{ci}$

其中，$g$是惯性系下的重力向量，$r_{ci}$是第$i$个连杆质心的坐标。

值得注意的是，含有柔性关节的情形中，势能还包括了储存在弹性元件内的能量

势能项仅仅是广义坐标的函数，而不是广义坐标导数的函数。

J.

如果角速度都表示在同一个参考坐标系下，如$o_0{x}_0{y}_0{z}_0$中，那么角速度可以叠加，有：

$\begin{array}{rl}{\omega }_{0,n}^0& ={\omega }_{0,1}^0+R_1^0{\omega }_{1,2}^1+R_2^0{\omega }_{2,3}^2+R_3^0{\omega }_{3,4}^3+\cdot \cdot \cdot +R_{n-1}^0{\omega }_{n-1,n}^{n-1}\\ & ={\omega }_{0,1}^0+{\omega }_{1,2}^0+{\omega }_{2,3}^0+{\omega }_{3,4}^0+\cdot \cdot \cdot +{\omega }_{n-1,n}^0\end{array}$

其中，${\omega }_{1,2}^1$代表对应于$R_2^1$变化的坐标系$o_2{x}_2{y}_2{z}_2$的角速度，这个角速度是相对于$o_1{x}_1{y}_1{z}_1$的。