【题目分析】
问题1：舞龙队沿螺距为55 cm的等距螺线顺时针盘入，给出300秒内舞龙队每秒的位置和速度
分析思路：
· 螺线方程： 需要建立螺线方程，以便描述龙头及每节板凳的位置。螺线是基于极坐标系的，可以通过设置龙头的速度为1 m/s，确定螺线的参数。
· 龙头运动： 龙头的速度为已知定值，需通过对时间的积分求出龙头的运动轨迹。
· 龙身和龙尾： 龙身和龙尾的板凳通过把手连接，其运动需考虑整体的曲率变化，因此可以通过数值方法模拟整个龙队每节的速度和位置。
· 数值模拟： 通过离散化时间，编程计算每秒的各节板凳的位置和速度，并导出结果文件 result1.xlsx。
· 关键点： 在0s, 60s, 120s等时间点分别记录特定板凳（如第1、51、101、151、201节板凳）的运动状态，输出表格化的数据用于报告。
【解题思路】
1. 龙头的运动路径
龙头前把手沿着等距螺线顺时针盘入，螺线的极坐标方程为：
其中：
-
是龙头前把手在角度 
时的径向距离； - r0是螺线的起始半径，已知龙头初始位于第16圈；
- p=0.55m 是螺距（55 cm）；
-
是极角，单位为弧度。
龙头前把手的行进速度恒定为 1 m/s，因此我们可以通过时间t计算出龙头的角速度
和径向速度Vr：
2. 龙头的位置信息
利用螺线的极坐标方程，可以将龙头前把手的坐标从极坐标转换为直角坐标系下的 x和y 位置：
其中r(t)和
是通过时间t计算出的螺线半径和极角。
3. 龙身和龙尾的位置信息
每节龙身的前把手和后把手都需要沿螺线上行进。由于各板凳的长度不同，每节龙身的后把手相对于前把手的偏移量由板凳的长度 li。通过以下公式修正：
前把手位置：
后把手位置根据板凳长度li和宽度w进行调整：
4. 数值模拟
通过离散化时间 t=1,2,3...,300，可以逐步计算每节龙身和龙尾的位置和速度。对每个时间点 t，首先计算龙头位置，再根据龙头的位置推导出龙身和龙尾的位置。
每一节板凳的速度可以通过数值微分计算：
5. 结果导出
将每秒的位置信息和速度保存到文件 result1.xlsx 中，按照以下格式：
- 位置信息
速度信息
【Python参考代码】
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义常量
p = 0.55 # 螺距 (m)
v_head = 1.0 # 龙头速度 (m/s)
t_total = 300 # 总时间 (s)
r_0 = 16 * p # 螺线起始半径，假设起始在第16圈
num_sections = 223 # 总板凳节数
length_head = 3.41 # 龙头长度 (m)
length_body = 2.20 # 龙身和龙尾长度 (m)
section_lengths = [length_head] + [length_body] * (num_sections - 1) # 各节板凳长度# 初始化位置和速度列表
positions = np.zeros((t_total + 1, num_sections, 2)) # x, y 坐标
velocities = np.zeros((t_total + 1, num_sections)) # 每节板凳速度# 计算角速度
def calculate_angular_velocity(v_head, r_head):return v_head / r_head# 计算每节板凳在t时刻的位置
def calculate_position(t, section_index):r = r_0 + p * t / (2 * np.pi) # 半径随时间变化theta = t / r # 极角随时间变化# 计算每节板凳的前把手位置if section_index == 0:x = r * np.cos(theta)y = r * np.sin(theta)else:prev_x, prev_y = positions[t, section_index - 1]section_length = section_lengths[section_index]direction = np.arctan2(prev_y, prev_x) + np.pi # 与前一节相反方向x = prev_x + section_length * np.cos(direction)y = prev_y + section_length * np.sin(direction)return x, y# 计算每节板凳在t时刻的速度
def calculate_velocity(t, section_index):if t == 0:return 0 # 初始时刻速度为0prev_pos = positions[t - 1, section_index]current_pos = positions[t, section_index]dist = np.sqrt((current_pos[0] - prev_pos[0])**2 + (current_pos[1] - prev_pos[1])**2)return dist# 主循环：计算每秒的位置信息和速度
for t in range(t_total + 1):for i in range(num_sections):positions[t, i] = calculate_position(t, i)velocities[t, i] = calculate_velocity(t, i)# 可视化螺线和板凳位置
def plot_positions():fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 10))ax.set_aspect('equal')for t in [0, 60, 120, 180, 240, 300]:ax.plot(positions[t, :, 0], positions[t, :, 1], label=f't={t}s')# 可视化龙头位置ax.scatter(positions[:, 0, 0], positions[:, 0, 1], color='red', s=50, label='龙头轨迹')ax.set_title('舞龙队沿螺线运动轨迹')ax.set_xlabel('x 位置 (m)')ax.set_ylabel('y 位置 (m)')ax.legend()plt.grid(True)plt.show()# 调用绘图函数
plot_positions()# 保存结果到 Excel 文件
import pandas as pd# 创建DataFrame来存储结果
result = pd.DataFrame(columns=["time", "section", "x_position", "y_position", "velocity"])for t in range(t_total + 1):for i in range(num_sections):result = result.append({"time": t,"section": i + 1,"x_position": positions[t, i, 0],"y_position": positions[t, i, 1],"velocity": velocities[t, i]}, ignore_index=True)# 保存为 Excel 文件
result.to_excel('result1.xlsx', index=False)
