向量空间与基变换

1. 向量空间的定义

向量空间（Vector Space）是指一组具有向量加法和数乘运算的元素的集合，并且这些运算满足以下公理：

1. 加法封闭性：对于任意两个向量 $u$ 和 $v$，它们的和 $u+v$ 也在该向量空间中。
2. 加法交换律：对于任意两个向量 $u$ 和 $v$，有 $u+v=v+u$。
3. 加法结合律：对于任意三个向量 $u$、$v$ 和 $w$，有 $(u+v)+w=u+(v+w)$。
4. 存在零向量：存在一个零向量 $0$，使得对于任意向量 $v$，有 $v+0=v$。
5. 存在加法逆元：对于每个向量 $v$，存在一个向量 $-v$，使得 $v+(-v)=0$。
6. 数乘封闭性：对于任意标量 $a$ 和任意向量 $v$，数乘 $av$ 也在该向量空间中。
7. 数乘分配律：
   • 对于标量 $a$、$b$ 和向量 $v$，有 $(a+b)v=av+bv$。
   • 对于标量 $a$ 和向量 $u$、$v$，有 $a(u+v)=au+av$。
8. 数乘结合律：对于标量 $a$、$b$ 和向量 $v$，有 $(ab)v=a(bv)$。
9. 数乘的单位元：存在一个标量 1，使得对于任意向量 $v$，有 $1v=v$。

2. 零向量的定义

零向量是向量空间中的一个特殊元素，满足以下条件：

• 对于任意向量 $v$，有 $v+0=v$。
• 零向量在向量空间中是唯一的。假设有两个零向量 $0_1$ 和 $0_2$，那么 $0_1=0_2$。

3. 子空间的定义

子空间（Subspace）是向量空间中的一个子集，这个子集本身也是一个向量空间。子空间必须满足以下条件：

1. 包含零向量：子空间必须包含原向量空间的零向量。
2. 封闭性：对于子空间中的任意两个向量 $u$ 和 $v$，它们的和 $u+v$ 仍然在子空间中。
3. 数乘封闭性：对于子空间中的任意向量 $v$ 和任意标量 $a$，数乘 $av$ 仍然在子空间中。

4. 基和维数

4.1 基的定义

一个向量空间 $V$ 的基是指一个向量组 { v 1 , v 2 , … , v n } \{v_1, v_2, \dots, v_n\} {v1​,v2​,…,vn​}，满足以下条件：

1. 线性无关性：基中的向量彼此线性无关。
2. 张成空间：基中的向量可以通过线性组合生成整个向量空间。

4.2 维数的定义

向量空间的维数是基向量的数量，表示的是向量空间的大小或自由度。

4.3 例子说明

• 二维向量空间 ${\mathbb{R}}^2$：标准基为 $\{(1,0),(0,1)\}$，维数为 2。
• 三维向量空间 ${\mathbb{R}}^3$：标准基为 $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$，维数为 3。
• 多项式空间 $P_2$：基为 { 1 , x , x 2 } \{1, x, x^2\} {1,x,x2}，维数为 3。

5. 基变换

5.1 基变换的定义

基变换是指将向量在一个基下的表示转换为另一个基下的表示。设有两个基 $B_1$ 和 $B_2$，基变换的公式为：

$$[x{]}_{B_2}=P\cdot [x{]}_{B_1}$$

其中，$P$ 是基变换矩阵。

5.2 基变换矩阵的构造

基变换矩阵 $P$ 的构造方法如下：

1. 将基 $B_2$ 中的每个基向量用基 $B_1$ 中的向量表示，得到 $[w_j{]}_{B_1}$。
2. 基变换矩阵 $P$ 由这些表示向量作为列向量构成。

5.3 基变换对几何量的影响

基变换不会改变向量、面积、体积等几何量本身的值。基变换矩阵的行列式 $\det (P)$ 可以用来衡量线性变换时的缩放因子。

• 若 $P$ 是正交矩阵，则基变换不会改变长度、面积、体积。
• 若 $\det (P)=1$ 或 $-1$，则基变换不会改变面积或体积的大小。

5.4 例子说明

例子 1：正交基变换

基 $B_1=\{(1,0),(0,1)\}$，基 $B_2=\{(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\}$。基变换矩阵为正交矩阵，行列式为 1，不改变几何量。

例子 2：非正交基变换

基 $B_1=\{(1,0),(0,1)\}$，基 $B_2=\{(2,0),(0,3)\}$。基变换矩阵 $P$ 的行列式为 6，表示面积被放大了 6 倍。