1.Floyd 算法精讲

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文档讲解： 代码随想录

本题是多源最短路，即求多个起点到多个终点的多条最短路径。Floyd算法对边的权值正负没有要求，都可以处理，其核心思想是动态规划。
动规五部曲：
（1）确定dp数组和下标
用grid存图，grid[i][j][k]表示节点 i 到节点 j 以[1,…,k] 集合为中间节点的最短距离
（2）递推关系式
分两种情况，一种是节点 i 到节点 j 的最短路径经过节点 k，grid[i][j][k] = grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]；另一种情况，节点 i 到节点 j 的最短路径不经过节点 k，grid[i][j][k] = grip[i][j][k-1]；两者取最小值
（3）初始化
刚开始初始化 k 是不确定的，如果赋值为1，那么不能知道节点 i 到节点 j 经过1个节点的最短距离，所以只能把 k 赋值为0，本题中节点0是无意义的，节点是从1到n。本题求的是最小值，所以其余值初始化为最大值
（4）遍历顺序
好比三维坐标，i,j是平层，而k是垂直向上的，遍历顺序是从底向上一层一层去遍历，所以遍历时 k 的for循环一定在最外面，这样才能一层一层去遍历，而 i 和 j 的先后顺序无所谓
（5）打印数组

#基于三维数组
n,m = map(int,input().split())
#创建三维数组
grid = [[[float('inf')] * (n+1) for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]
#初始化
for _ in range(m):u,v,w = map(int,input().split())grid[u][v][0] = w grid[v][u][0] = w 
#floyd
for k in range(1,n+1):for i in range(1,n+1):for j in range(1,n+1):grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1],grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1])
#输出结果
q = int(input())
for _ in range(q):start,end = map(int,input().split())if grid[start][end][n] == float('inf'):print(-1) else:print(grid[start][end][n])

#基于二维数组
n,m = map(int,input().split())
grid = [[float('inf')] * (n+1) for _ in range(n+1)]
#初始化
for _ in range(m):u,v,w = map(int,input().split())grid[u][v] = w grid[v][u] = w 
for k in range(1,n+1):for i in range(1,n+1):for j in range(1,n+1):grid[i][j] = min(grid[i][j],grid[i][k] + grid[k][j])
#输出结果
q = int(input())
for _ in range(q):start,end = map(int,input().split())if grid[start][end] == float('inf'):print(-1)else:print(grid[start][end])

2.A * 算法精讲 （A star算法）

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文档讲解： 代码随想录

bfs是没有目的性的一圈一圈搜索，而A*算法是有方向性的去搜索，通过启发式函数指引搜索方向。本题的图是无权网络状，使用欧氏距离来计算权值，对队列里的节点进行排序。

import heapq
direction = [[-2,1],[-1,2],[1,2],[2,1],[2,-1],[1,-2],[-1,-2],[-2,-1]]
maxx = 1001
#定义骑士类
class Knight:def __init__(self,x,y,g,h):self.x = xself.y = yself.g = g #从起点到该点的距离self.h = h #从该点到终点的距离self.f = g + hdef __lt__(self,other):return self.f < other.f #小顶堆，按照f排序，统一不开根号可以提高精度
#计算欧式距离
def heuristic(k,b1,b2):return (k.x - b1) ** 2 + (k.y - b2) ** 2 
def astar(start_x,start_y,end_x,end_y):#记录路径长度move = [[0] * maxx for _ in range(maxx)]que = []start = Knight(start_x,start_y,0,heuristic(Knight(start_x,start_y,0,0),end_x,end_y))heapq.heappush(que,start)while que:cur = heapq.heappop(que)#终止条件，达到终点if cur.x == end_x and cur.y == end_y:return move[cur.x][cur.y]for dx,dy in direction:next_x = cur.x + dx next_y = cur.y + dy if 1 <= next_x < maxx and 1 <= next_y < maxx and move[next_x][next_y] == 0:move[next_x][next_y] = move[cur.x][cur.y] + 1 #走马日，1**2+2**2=5next_k = Knight(next_x,next_y,cur.g + 5,heuristic(Knight(next_x,next_y,0,0),end_x,end_y))heapq.heappush(que,next_k) return -1
n = int(input())
for _ in range(n):a1,a2,b1,b2 = map(int,input().split())res = astar(a1,a2,b1,b2)print(res)

A算法搜的路径如何，完全取决于启发式函数怎么写，不能保证一定是最短路，设计启发式函数时要考虑时间效率和准确度之间的权衡。该算法的缺陷：A只从队列里取出距离终点最近的节点，大量不需要访问的节点都在队列里，会造成空间的过度消耗；有种常见是解决不了的，给出多个可能的目标，然后在多个可能目标中选择最近的节点，A*算法只擅长给出明确的目标然后找到最短路径。