正弦强迫系统

在本节中，我们研究的是外力为正弦或余弦函数的强迫谐振子方程：

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+p\frac{dy}{dt}+qy=g(t),$$

其中 $g(t)$ 是一个正弦或余弦函数。这种类型的外部强迫在实际应用中非常常见。例如，地震对建筑物的震动和声音撞击玻璃的压力波都属于这种情况。这些外部强迫有两个共同的定性特征。首先，它们是周期性的。也就是说，它们在一个确定的时间 $T$ 后重复，这个时间称为周期，因此：

$$g(t+T)=g(t)\text{ for all }t.$$

其次，它们的平均值为零。在每个周期内，推动的方向和拉动的方向相等，可以用以下数学表达式表示：

$${\int }_0^{T}g(t)dt=0.$$

最简单且最熟悉的具有这种性质的函数是 $\sin (\omega t)$ 和 $\cos (\omega t)$。这些函数的周期为 $2\pi /\omega$，频率为 $\omega /(2\pi )$。

在本节中，我们应用未定系数法来研究有正弦强迫的阻尼谐振子。在第 4.3 节中，我们考虑无阻尼谐振子的正弦强迫，在第 4.4 节中，我们研究有正弦强迫的阻尼谐振子解如何依赖于强迫频率和阻尼参数。

阻尼谐振子的正弦强迫

为了更好地理解具有周期性强迫的谐振子的行为，我们首先求解以下方程的通解：

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}+2y=\sin t,$$

按照第 4.1 节中给出的步骤进行求解。

未强迫方程：

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}+2y=0,$$

的特征值为 $-1\pm i$。因此，这个振子是欠阻尼的，通解为：

$$y(t)=k_1{e}^{-t}\cos t+k_2{e}^{-t}\sin t.$$

为了找到强迫方程的一个特解，我们使用未定系数法。乍一看，$y_p(t)=k\sin t$ 似乎是一个合理的猜测。然而，由于有 $\frac{dy}{dt}$ 项，将这个猜测代入微分方程会在左边产生包含 $\cos t$ 的项。无论选择哪个常数 $k$ 都无法消除这个项，而方程右边没有余弦项。因此，我们可以做一个更一般的猜测：

$$y_p(t)=a\cos t+b\sin t$$

其中 $a$ 和 $b$ 是两个未定系数，但更有效的方法是利用我们对复指数的知识。

复数化（Complexification）

首先，考虑方程：

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}+2y=e^{it}.$$

该复数微分方程的一个特解（我们称之为 $y_c(t)$，其中 $c$ 代表复数解），具有实部和虚部形式：

$$y_c(t)=y_{\text{re}}(t)+i{y}_{\text{im}}(t).$$

将 $y_c(t)$ 代入微分方程，并使用欧拉公式（Euler’s formula）$e^{it}=\cos t+i\sin t$，得到：

$$\frac{d^2}{d{t}^2}(y_{\text{re}}+i{y}_{\text{im}})+2\frac{d}{dt}(y_{\text{re}}+i{y}_{\text{im}})+2(y_{\text{re}}+i{y}_{\text{im}})=\cos t+i\sin t.$$

在方程两边分别取实部和虚部：

$$\frac{d^2{y}_{\text{re}}}{d{t}^2}+2\frac{d{y}_{\text{re}}}{dt}+2y_{\text{re}}=\cos t,$$

以及

$$\frac{d^2{y}_{\text{im}}}{d{t}^2}+2\frac{d{y}_{\text{im}}}{dt}+2y_{\text{im}}=\sin t.$$

因此，虚部 $y_{\text{im}}(t)$ 是原始方程 d 2 y d t 2 + 2 d y d t + 2 y = sin ⁡ t \frac{d^2 y}{dt^2} + 2 \frac{dy}{dt} + 2y = \sin t <