【C++ 第十四章】红黑树

news/2024/9/23 4:58:04/

前言：

学习本章，需要先学习 AVL树的 旋转，因为 红黑树也需要旋转调整来平衡，下面讲解将不赘述 旋转的原理和操作

红黑树的旋转 和 AVL树的旋转 唯一不同的是：旋转的判断使用逻辑

AVL树的旋转 可以通过 平衡因子 判断使用哪一种旋转

红黑树的旋转 则 直接通过 判断 爷爷 grandfather、父亲 parent、自己 cur 三种节点之间的位置关系 来 判断使用哪一种 旋转


（其实原理都一样，只不过AVL树有了平衡因子，可以直接借助平衡因子判断，其核心还是爷父子三者位置关系）

🦖1. 红黑树的概念

        红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是 Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路 径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

（即 最长路径 长度一定 小于等于 最短路径的*2 ）

🦖2. 红黑树的 4 条性质（决定代码实现逻辑）

（1）二叉搜索树的结构

（2）根和叶子(NULL)都是黑色

（3）不存在连续的两个红色结点

（4）任一结点到叶所有路径黑结点数量相同

四条性质可以总结成 四条口诀

左根右、根叶黑、不红红、黑路同

🦖⭐（1）左根右

即 左根右 的 二叉搜索树结构

🦖⭐（2）根叶黑

       根和叶子(NULL)都是黑色

        划蓝色虚线的 节点 10 即为 根节点

        划蓝色虚线的 长方形节点，空节点 NULL

        这两种节点都必须是 黑色！

🦖⭐（3）不红红

不存在连续的两个红色结点

下图中 节点 7 和 节点 5 两个连续红节点的情况不合法，需要进一步调整（后序讲解）

🦖⭐（4）黑路同

任一结点到叶所有路径黑结点数量相同

下图中，每条路径的 黑色节点个数 都是 3 ，这就是合法

注意：一条路径的终点一定是 NULL 空节点！！！

🦖3. 为什么说 "红黑树的最长路径不会超过最短路径的两倍 "

因为所有路径黑色节点的数量必须相同（黑路同），同时 红色节点不能连续出现（不红红）

因此 最长路径一定是 一黑一红 的排列

则 最长的那条路径：即使下面再加一个 红色节点，也只是刚好 是最短路径的两倍，而绝对不会超过 最左边的最短路径

🦖4. 红黑树节点 定义

// 设置颜色枚举值
enum Colour {RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;pair<K, V> _data;  Node* _left;Node* _right;Node* _parent;Colour _col;RBTreeNode(const T& data):_data(data), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr){}
};

🦖5. 红黑树的插入

🦖5.1 插入的节点 默认是 红色

为什么？看下面例子

🦖⭐当 插入的节点 7 为 黑色时

黑色节点 的 插入，必然会违反 ”黑路同“ 的性质，因此要对其他节点都进行调整（其他节点都要再加一个黑色节点）

⭐当 插入的节点 7 为 红色 ，且 该节点插在 黑色节点 8 下面时

可以发现，插入一个 红色节点并没有影响 任何一个 红黑树的性质，即不用做出调整

⭐当 插入的节点 7 为 红色 ，且 该节点插在 红色节点 8 下面时

若 在 红色节点后面插入一个 红色节点，会违反 ”不红红“ 的性质，则需要调整

综上所述，插入黑色节点就一定需要调整，插入红色节点却可能不需要调整

因此，插入红色节点的性价比最高

🦖5.2 插入节点后，若性质被破坏，分三种情况调整

（注意：是性质被破坏了，才需要调整，没被破坏不需要调整）

🦖（1）插入结点是根结点：

        直接将 节点变黑就行

如果非根节点：看叔叔颜色

🦖（2）插入结点的叔叔 uncle 是红色：

该情况处理步骤：

1、将叔父爷变色（即除了自己 cur 以外的三个节点）

2、再将 cur 指向 爷爷

（然后继续对这个 cur 进行这 红黑树 4条性质的判定，看是否违反，即 从 cur 开始 继续向上调整）

🦖（3）插入结点的叔叔 uncle 是黑色：旋转 + 变色

注意：黑色节点也可以是 NULL 空节点

直接通过 判断 爷爷 grandfather、父亲 parent、自己 cur 三种节点之间的位置关系 来 判断使用哪一种 旋转

因为 单旋 LL型 和 RR 型的原理一致，双旋 LR 型 和 RL 型的原理一致

下面我就以 LL 型 和 LR 型举例讲解旋转的步骤

🦖LL 型：

1、以爷爷为旋转点，向右旋转

2、变色：爷变红，父变黑

🦖LR 型

1、先 以 father 为旋转点 旋转，再以 爷爷 为旋转点 旋转

2、爷变红，cur 变黑

🦖小结：都是固定步骤

单旋 LL型 和 RR 型

        旋转：以爷爷为旋转点 左旋 或 右旋（父亲为 旋转中心轴）

        变色：爷变红，父变黑

双旋 LR 型 和 RL 型

        旋转：先 旋转 父亲 father，再 旋转 爷爷

        变色：爷变红，cur 变黑

🦖5.3 插入节点中 旋转变色逻辑 代码讲解

根据上面的讲解，可以发现，决定红黑树 旋转 or 变色 的是  爷父子的位置关系 和 叔叔的颜色

因此代码逻辑 也要 以这两点为中心 设计

🦖伪代码：

因为插入节点是 红色，父亲为空时，违反 "不红红" 的性质，则进入循环执行调整

while ( 父亲不为空  同时  父亲的颜色为红色 )

{

        if ( 父亲是  爷爷 的 左 孩子 ) 

                if ( 叔叔是 红色 ) 

                else if ( 叔叔是 黑色 ) 

                         if ( cur 是 父亲的 左 )

                         else if ( cur 是 父亲的 右 )

        else if ( 父亲是  爷爷 的 右 孩子 ) 

                if ( 叔叔是 红色 ) 

                else if ( 叔叔是 黑色 ) 

                         if ( cur 是 父亲的 左 )

                         else if ( cur 是 父亲的 右 )

}

🦖实际代码：

// 变色调整：
while (parent && parent->_col == RED) {Node* Grandfather = parent->_parent;/*gp     u*/// 父亲是  爷爷 的左孩子if (parent == Grandfather->_left) {Node* Uncle = Grandfather->_right;// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷if (Uncle && Uncle->_col == RED) {parent->_col = BLACK;Uncle->_col = BLACK;Grandfather->_col = RED;cur = Grandfather;parent = cur->_parent;}// 叔叔是 黑色：旋转后变色else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋if (cur == parent->_left) {/*  右单旋 + 变色gp       uc*/rotateLL(Grandfather);// 爷变红，父变黑Grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else if (cur == parent->_right) {/*  双旋（先左旋后右旋） + 变色gp        uc*/rotateRR(parent);  // p 先 左旋rotateLL(Grandfather);  //  g 再右旋// 爷变红，cur 变黑Grandfather->_col = RED;cur->_col = BLACK;}break;  // 旋转后，退出循环}}// 父亲是  爷爷 的右孩子else if (parent == Grandfather->_right) {Node* Uncle = Grandfather->_left;// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷if (Uncle && Uncle->_col == RED) {parent->_col = BLACK;Uncle->_col = BLACK;Grandfather->_col = RED;cur = Grandfather;parent = cur->_parent;}// 叔叔是 黑色：旋转后变色else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋if (cur == parent->_right) {/*  左单旋 + 变色gu       pc*/rotateRR(Grandfather);// 爷变红，父变黑Grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else if (cur == parent->_left) {/*  双旋（先右旋后左旋） + 变色gu         pc*/rotateLL(parent);  // p 先 右旋rotateRR(Grandfather);  //  g 再左旋// 爷变红，cur 变黑Grandfather->_col = RED;cur->_col = BLACK;}break;  // 旋转后，退出循环}}
}// 根节点强制变色
_root->_col = BLACK;

🦖5.4 insert 函数 总代码

// 插入
bool insert(const pair<K, V>& kv) {if (_root == nullptr) {_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK; // 根节点一定是黑的return true;}Node* cur = _root;Node* parent = cur;while (cur) {if (cur->_kv.first < kv.first) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first) {parent = cur;cur = cur->_left;}else return false;}// 在 cur 的位置插入该节点cur = new Node(kv);cur->_col = RED;  // 新增节点给 红的// 父连子，子连父if (parent->_kv.first > kv.first) parent->_left = cur;else  parent->_right = cur;cur->_parent = parent;// 变色调整：while (parent && parent->_col == RED) {Node* Grandfather = parent->_parent;/*gp     u*/// 父亲是  爷爷 的左孩子if (parent == Grandfather->_left) {Node* Uncle = Grandfather->_right;// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷if (Uncle && Uncle->_col == RED) {parent->_col = BLACK;Uncle->_col = BLACK;Grandfather->_col = RED;cur = Grandfather;parent = cur->_parent;}// 叔叔是 黑色：旋转后变色else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋if (cur == parent->_left) {/*  右单旋 + 变色gp       uc*/rotateLL(Grandfather);// 爷变红，父变黑Grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else if (cur == parent->_right) {/*  双旋（先左旋后右旋） + 变色gp        uc*/rotateRR(parent);  // p 先 左旋rotateLL(Grandfather);  //  g 再右旋// 爷变红，cur 变黑Grandfather->_col = RED;cur->_col = BLACK;}break;}}// 父亲是  爷爷 的右孩子else if (parent == Grandfather->_right) {Node* Uncle = Grandfather->_left;// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷if (Uncle && Uncle->_col == RED) {parent->_col = BLACK;Uncle->_col = BLACK;Grandfather->_col = RED;cur = Grandfather;parent = cur->_parent;}// 叔叔是 黑色：旋转后变色else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋if (cur == parent->_right) {/*  左单旋 + 变色gu       pc*/rotateRR(Grandfather);// 爷变红，父变黑Grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else if (cur == parent->_left) {/*  双旋（先右旋后左旋） + 变色gu         pc*/rotateLL(parent);  // p 先 右旋rotateRR(Grandfather);  //  g 再左旋// 爷变红，cur 变黑Grandfather->_col = RED;cur->_col = BLACK;}break;}}}// 修改一：根节点强制变色_root->_col = BLACK;return false;
}

🦖6. 红黑树的删除

红黑树的删除本节不做讲解，有兴趣的同学可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》 http://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/12/02/2270692.html

🦖7. 红黑树与AVL树的比较

        之前讲到的AVL树，它是左右子树的高度相差不会超过一，可以发现 AVL树 对于平衡的要求会更加严格，因此 AVL树在树高上面要比红黑树控制的更加平衡，查询节点的时间复杂度为 logN

因为红黑树的最长路径 可以为最短路径的2倍，因此 查询节点的时间复杂度为 log 2*N

        所以在查询上面红黑树要略逊于  AVL树，当然在时间复杂度上都是同一个数量级，都是O(logN)，差距不会太大

        恰恰因为 AVL树 要严格的控制树的平衡，因此 插入删除 操作后，旋转的次数较多

        而 红黑树 插入删除 操作中，旋转的次数较少

        所以相比之下， AVL树 在查询上边呢更高效；红黑树 在插入删除上边更高效

        在实际应用当中呢，红黑树 用的更广泛一些，比如说 C++的STL 当中的 map 和 set 都是基于红黑树实现的（下一个章节会讲解 【map 和 set 对红黑叔的封装】）

Java 库 、 linux内核 、其他一些库 都有使用 红黑树

🦖8. ⭐红黑树的完整代码

#pragma once
#include<iostream>
#include<vector>
#include<assert.h>
using namespace std;///// 设置颜色枚举值
enum Colour {RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;pair<K, V> _kv;Node* _left;Node* _right;Node* _parent;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& data):_kv(data), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{
public:typedef RBTreeNode<K, V> Node;RBTree() = default;~RBTree() {destory(_root);_root = nullptr;}// 查找Node* find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (key > cur->_kv.first) {cur = cur->_right;}else if (key < cur->_kv.first) {cur = cur->_left;}else {return cur;}}return nullptr;}// 插入bool insert(const pair<K, V>& kv) {if (_root == nullptr) {_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK; // 根节点一定是黑的return true;}Node* cur = _root;Node* parent = cur;while (cur) {if (cur->_kv.first < kv.first) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first) {parent = cur;cur = cur->_left;}else return false;}// 在 cur 的位置插入该节点cur = new Node(kv);cur->_col = RED;  // 新增节点给 红的// 父连子，子连父if (parent->_kv.first > kv.first) parent->_left = cur;else  parent->_right = cur;cur->_parent = parent;// 变色调整：while (parent && parent->_col == RED) {Node* Grandfather = parent->_parent;/*gp     u*/// 父亲是  爷爷 的左孩子if (parent == Grandfather->_left) {Node* Uncle = Grandfather->_right;// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷if (Uncle && Uncle->_col == RED) {parent->_col = BLACK;Uncle->_col = BLACK;Grandfather->_col = RED;cur = Grandfather;parent = cur->_parent;}// 叔叔是 黑色：旋转后变色else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋if (cur == parent->_left) {/*  右单旋 + 变色gp       uc*/rotateLL(Grandfather);// 爷变红，父变黑Grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else if (cur == parent->_right) {/*  双旋（先左旋后右旋） + 变色gp        uc*/rotateRR(parent);  // p 先 左旋rotateLL(Grandfather);  //  g 再右旋// 爷变红，cur 变黑Grandfather->_col = RED;cur->_col = BLACK;}break;}}// 父亲是  爷爷 的右孩子else if (parent == Grandfather->_right) {Node* Uncle = Grandfather->_left;// 叔叔是 红色：三人变色，cur指爷if (Uncle && Uncle->_col == RED) {parent->_col = BLACK;Uncle->_col = BLACK;Grandfather->_col = RED;cur = Grandfather;parent = cur->_parent;}// 叔叔是 黑色：旋转后变色else if (Uncle == nullptr || Uncle->_col == BLACK) {// 看 cur 的位置：决定单旋 or 双旋if (cur == parent->_right) {/*  左单旋 + 变色gu       pc*/rotateRR(Grandfather);// 爷变红，父变黑Grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else if (cur == parent->_left) {/*  双旋（先右旋后左旋） + 变色gu         pc*/rotateLL(parent);  // p 先 右旋rotateRR(Grandfather);  //  g 再左旋// 爷变红，cur 变黑Grandfather->_col = RED;cur->_col = BLACK;}break;}}}// 修改一：根节点强制变色_root->_col = BLACK;return false;}// RR型：左单旋void rotateRR(Node* parent) {Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* parentParent = parent->_parent;// 1、subRL变成parent的右孩子parent->_right = subRL;// subRL 是有可能为 空的if (subRL) {subRL->_parent = parent;}// 2、parent变成subR的左孩子subR->_left = parent;parent->_parent = subR;// 3、subR变成当前子树的根// parentParent 是指 刚开始的 parent 的父亲：若 parent 是 _root 则 parentParent 为空，否则不为空，则该树就是子树if (parentParent) {if (parent == parentParent->_right)parentParent->_right = subR;else parentParent->_left = subR;subR->_parent = parentParent;}// 如果 parentParent == nullptr：说明 parent 是该树的 _root，_root 的 parent 是空else {_root = subR;subR->_parent = nullptr;}}// LL型：右单旋void rotateLL(Node* parent) {Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* parentParent = parent->_parent;// 1、subLR变成parent的左孩子parent->_left = subLR;// subRL 是有可能为 空的if (subLR) {subLR->_parent = parent;}// 2、parent变成subL的右孩子subL->_right = parent;parent->_parent = subL;// 3、subL 变成当前子树的根// parentParent 是指 刚开始的 parent 的父亲：若 parent 是 _root 则 parentParent 为空，否则不为空，则该树就是子树if (parentParent) {if (parent == parentParent->_right)parentParent->_right = subL;else parentParent->_left = subL;subL->_parent = parentParent;}// 如果 parentParent == nullptr：说明 parent 是该树的 _root，_root 的 parent 是空else {_root = subL;subL->_parent = nullptr;}}// LR 型：subL 先 左旋， parent 右旋void rotateLR(Node* parent) {rotateRR(parent->_left);rotateLL(parent);}// RL 型：subR 先 右旋， parent 左旋void rotateRL(Node* parent) {rotateLL(parent->_right);rotateRR(parent);}// 中序遍历void InOrder() {_InOrder(_root);cout << '\n';}// 获取该树的高度int Height() {return _Height(_root);}// 获取节点个数int Size() {return _Size(_root);}// 判断是否是 红黑树bool IsValidRBTree() {if (_root == nullptr) return false;else if (_root && _root->_col == RED) return false;// 遍历一条路，记录一条路上一共固定有多少个黑色节点int cnt = 0;Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_col == BLACK) cnt++;cur = cur->_left;}return _IsValidRBTree(_root, 0, cnt);}private://  判断是否是 红黑树bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t k, const size_t blackCount){// 1、看根节点是否是 黑的// 2、看每条路径的 黑色节点数量是否相同// 3、检查是否有连续的红节点：遇到一个红节点就判断其父亲是否是 红的//走到null之后，判断 k 和 blackCount 是否相等：即一条路径上的 黑色节点数量是否为固定值if (pRoot == nullptr){if (k != blackCount){cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;return false;}return true;}// 统计黑色节点的个数if (pRoot->_col == BLACK)k++;// 检测当前节点与其双亲是否都为红色Node* pParent = pRoot->_parent;if (pParent && pParent->_col == RED && pRoot->_col == RED){cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;return false;}return _IsValidRBTree(pRoot->_left, k, blackCount) && _IsValidRBTree(pRoot->_right, k, blackCount);}int _Size(Node* pRoot) {if (pRoot == nullptr) return 0;//if (pRoot->_left == nullptr && pRoot->_right == nullptr) return 1;return 1 + _Size(pRoot->_left) + _Size(pRoot->_right);}int _Height(Node* pRoot) {if (pRoot == nullptr)return 0;return 1 + max(_Height(pRoot->_left), _Height(pRoot->_right));}// 销毁一棵树：后序遍历void destory(Node* root) {if (root == nullptr) {return;}destory(root->_left);destory(root->_right);delete root;}void _InOrder(const Node* root) {if (root == nullptr) {return;}_InOrder(root->_left);cout << (root->_kv).first << " : " << (root->_kv).second << '\n';_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

参考文献和资料

B站 up ：蓝不过海呀

【红黑树 - 定义, 插入, 构建】https://www.bilibili.com/video/BV1Xm421x7Lg?vd_source=bea8fdb0eb9c0c7d500ffd191a292977


http://www.ppmy.cn/news/1512336.html

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