高等数学/概率论/数理统计/线性代数/离散数学面试-核心概念-问题理解

1.特征值与特征向量

2.矩阵的秩，满秩代表什么？怎么判断满秩？

3.奇异值分解

4.正定矩阵

5.线性相关和线性无关

6.全概率公式与贝叶斯公式

7.极大似然估计

8.大数定律与中心极限定理

9.傅立叶变换

10.连续与可导有什么关系？可导、可微、连续、可积之间的关系

11.离散数学学的是什么？何为幂集和集合？

12.笛卡尔积、二元关系及其表示

13.自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性

14.关系的闭包及求闭包的方法

15.等价关系、偏序关系、偏序集

16.什么是欧拉图？如何判断无向图和有向图是否存在欧拉回路（通路）？

17.哈密顿图与平面图

18.代数系统及两个代数系统同构的条件

1.特征值与特征向量

特征值与特征向量是线性代数中的概念，它们与线性变换有关。在线性变换中，如果存在非零向量 v ，使得当该向量通过变换后，其方向不变，只是长度发生了变化，那么这个向量 v 就是特征向量。而这个长度变化的比例因子，即变换前后向量长度的比值，称为特征值。

数学公式表示：

通俗易懂的解释：
想象一下，你有一个可以伸缩的橡皮筋，这个橡皮筋可以代表一个向量。现在，你有一个特殊的机器，它可以改变橡皮筋的形状，但不会改变它延伸的方向。当你把橡皮筋放入机器中，机器会拉伸或压缩橡皮筋，但橡皮筋的方向保持不变。

特征向量：在这个例子中，橡皮筋代表的就是特征向量，即使它被拉伸或压缩，它仍然是指向同一个方向的向量。
特征值：橡皮筋被拉伸或压缩的程度，比如原来长度是1，现在被拉伸到了2，那么特征值就是2。如果橡皮筋被压缩到了0.5，那么特征值就是0.5。
特征值和特征向量在很多领域都有应用，比如在图像处理中，可以用来识别图像的主要方向；在数据分析中，可以用来识别数据的主要变化趋势等。

2.矩阵的秩，满秩代表什么？怎么判断满秩？

矩阵的秩（Rank）是线性代数中的一个基本概念，它表示矩阵中线性独立行或列的最大数目。线性独立意味着矩阵的某一行或某一列不能由其他行或列的线性组合来表示。矩阵的秩可以看作是矩阵中包含的线性信息的量度。一个矩阵如果是满秩的，意味着它的所有行或所有列都是线性独立的，没有冗余的线性关系。

（1）矩阵的秩：

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数量。

秩可以看作是矩阵可以表示为多少个线性无关向量的乘积。

（2）满秩：

如果矩阵的秩等于它的行数或列数（取两者中的较小值），则称矩阵为满秩（Full Rank）。

满秩矩阵表示矩阵的列向量或行向量是线性无关的，矩阵可以表示空间中的所有可能的线性组合。

（3）不满秩：

如果矩阵的秩小于它的行数或列数，矩阵就是不满秩（Rank Deficient）。

不满秩矩阵意味着至少存在一个行或列可以被其他行或列线性表示，即存在线性依赖。

判断一个矩阵是否是满秩的，可以通过以下几种方法：

行阶梯形矩阵：将矩阵通过行变换（包括交换行、将一行乘以一个非零常数、将一行加上另一行的倍数）转换为行阶梯形矩阵。如果行阶梯形矩阵的非零行数等于矩阵的列数，那么原矩阵是满秩的。
列阶梯形矩阵：与行阶梯形矩阵类似，但是通过列变换来实现。如果列阶梯形矩阵的非零列数等于矩阵的行数，那么原矩阵是满秩的。
行列式：对于方阵（即行数和列数相等的矩阵），如果矩阵的行列式值非零，则矩阵是满秩的。如果行列式为零，则矩阵不是满秩的。
特征值：对于方阵，如果矩阵的所有特征值都不为零，则矩阵是满秩的。如果至少有一个特征值为零，则矩阵不是满秩的。
克拉默法则：如果矩阵的任何 n 个列（或行）的行列式都不为零（对于方阵，即 n 等于矩阵的阶数），则矩阵是满秩的。
矩阵的秩的公式：计算矩阵的秩，即矩阵中线性独立行或列的最大数目。如果这个数目等于矩阵的最小维度（行数或列数中较小的一个），则矩阵是满秩的。
数值方法：使用数值计算软件（如MATLAB、NumPy等）来计算矩阵的秩。这些软件通常使用高斯消元法或其他数值稳定的方法来确定矩阵的秩。
SVD（奇异值分解）：通过奇异值分解，如果矩阵的所有奇异值都非零，则矩阵是满秩的。

使用图书馆书架上书的例子来理解矩阵和秩的概念，我们可以这样类比：

矩阵：想象矩阵就像是一个图书馆中的书架，书架上的每一层可以看作是矩阵的一行，每本书则代表矩阵中的一个元素。
矩阵的行或列：书架的每一层（行）或每列书脊（列）代表矩阵中的行向量或列向量。
线性独立：如果书架上的书（即矩阵的行或列）之间没有一本可以通过其他书的组合来复制，那么这些书就是线性独立的。在矩阵中，如果没有任何一行（或列）可以通过其他行（或列）的组合来得到，那么这些行（或列）就是线性独立的。
矩阵的秩：书架上书的种类数量，代表矩阵中线性独立行或列的数量。如果书架上的书种类繁多，没有重复主题，那么矩阵的秩就高，表示矩阵中包含的信息是多样的，每本书（或行/列）都提供了独特的信息。
满秩：如果书架上的书的数量和书的种类数相同，比如有10本书，每本书都是不同主题的，那么书架就是满秩的。在矩阵中，如果矩阵的行数和列数中较小的一个等于线性独立行或列的数量，那么矩阵就是满秩的。这意味着矩阵的每行每列都是必需的，没有冗余，每本书（或行/列）都提供了独特的信息，没有一行或一列可以通过其他行或列的组合来得到。

3.奇异值分解

将一个普通的m*n矩阵分解为左奇异矩阵/正交矩阵（m*m）、m*n的对角矩阵和n*n的右奇异矩阵的乘积。

4.正定矩阵

想象你有一个大型的橡皮膜，这个橡皮膜可以被拉伸，但不会破裂。现在，把这个橡皮膜想象成一个平面，每个点在橡皮膜上都有一个位置。

正定矩阵：可以想象成一种特殊的力，当你用这种力去拉橡皮膜上的任何一点时，这个点都会被向外推，橡皮膜上没有任何一点会被向内挤压。换句话说，正定矩阵就像是一种总是向外扩展的力。
特征值：想象成拉伸橡皮膜时，不同方向上的拉伸强度。如果一个橡皮膜在所有方向上的拉伸强度都是正的，那么它就可以被看作是由一个正定矩阵来描述的。
主子式：可以想象成橡皮膜上不同区域的局部强度。如果橡皮膜的每个小区域的强度都是正的，那么整个橡皮膜的拉伸也是正的，这同样符合正定矩阵的性质。

5.线性相关和线性无关

在一个向量组中，如果其中存在某个向量可以表示成其他向量的线性组合，那就称该向量组线性相关，反之称为线性无关。

通俗地说就是向量组里如果有向量可以被其他向量表示出来，说明它就是多余的，那么此时就是线性相关。

6.全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式

一个事件 A 的发生有各种可能的原因，每一个原因都可能会导致事件 A 的发生。所以 A 发生的概率就是全部原因引起 A 发生的概率的总和。

可以形象地把全概率公式看成是 “ 由原因推结果” ，每个原因对结果的发生都有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用都有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。

贝叶斯公式

在事件 A 已经发生的情况下，来寻找导致事件 A 发生的各种原因的概率是多少。P(B|A) 代表后验概率，因为它表示在拿到观测数据之后，对某一个事件的信念度。后验就是后发生的意思，也就是在知道数据之后对原因 B 的认知。

P(B) 代表先验概率，因为 A 从这个式子中消失了，就说明是我们在没有采集数据之前对 B 的认知。

相对比较难理解的是这个似然函数 P(A|B)，这个是什么意思呢，就是在给定原因 B 的情况下，当前观测数据 A 出现的可能性。之所以叫似然，是因为我在反向找证据，假设我的参数估计是正确的，那么现有的观测数据会有多大的可能性会出现。可以形象地把贝叶斯公式看成是 “ 由结果推原因”。

应用场景

全概率公式：适用于在多个互斥原因下计算某个事件的总概率。
贝叶斯公式：适用于在已知某个事件发生后，更新对各种原因发生概率的信念。

形象理解：贝叶斯公式可以看作是“由结果推原因”的过程。在已知某个结果（事件A）发生后，我们重新评估导致这个结果的各种可能原因（事件B）的概率。
形象理解：可以把全概率公式看作是“由原因推结果”的过程。每个原因对结果的发生都有影响，全概率公式展示了这些原因与结果之间的关系。

7.极大似然估计

（1）极大似然估计的概念

利用已知的样本结果，反推最有可能导致这种结果出现的参数 θ 的值。

换句话说，极大似然估计提供了一种根据观测数据来评估模型参数的方法。

（2）极大似然估计的步骤

1. 采样。极大似然估计中采样需满足一个重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。

2. 建立极大似然函数 L。

3. 求解参数。找到使得似然函数 L 最大的参数 θ。

（3）极大似然估计的例子

有一枚硬币，它的材质不太均匀。在独立试验中，抛 100 次，有70次正面向上，30次反面向上，现在我们要对这枚硬币正面向上的概率 θ 进行预测。首先猜测 θ = 0.1，那么得到70次正面向上， 30 次反面向上这样一个结果的可能性会很小；而如果猜测 θ = 0.5，可能性会大很多；当 θ = 0.7 时，可能性会达到最大值，这个时候就把 0.7 作为极大似然估计量。

在这个例子中，极大似然估计就是要求当θ等于多少的时候， 100 次观测中最有可能发生70次正面向上， 30 次反面向上这样的结果。

极大似然估计是一种统计推断方法，其核心原理在于寻找最佳参数值，使得观测到的数据在这些参数下出现的概率最大。具体来说，它通过构建似然函数，即在给定参数下观测数据出现的概率，然后选择那些使似然函数达到最大值的参数作为估计值。这种方法的优势在于它提供了一种直观且数学上严谨的方式来估计模型参数，广泛应用于概率模型的参数估计中。

8.大数定律与中心极限定理

大数定律就像是一个“平均法则”。想象一下，如果你抛一枚硬币很多次，正面和反面出现的次数会大致相等。即使在一开始，正面可能连续出现几次，但随着抛硬币的次数越来越多，正面和反面出现的比例会越来越接近50%。在数学上，这就是说，当我们重复做某件事情很多次时，它的平均结果会越来越接近它的真实概率。（实验次数越多，频率越接近概率）

中心极限定理可以被看作是“大杂烩”效应。假设你有很多不同种类的苹果，每种苹果的重量都不一样。如果你随机挑选一些苹果，计算它们的平均重量，然后重复这个过程很多次，你会发现不管这些苹果的原始分布如何，它们的平均重量的分布会越来越接近一个特定的形状，也就是我们常说的“钟形曲线”或正态分布。这个定理告诉我们，即使原始数据千差万别，只要样本量足够大，它们的平均值的分布就会趋于稳定，呈现出一种特定的模式。

中心极限定理是统计学中的一个基本定理，描述了在一定条件下，大量相互独立的随机变量之和经过标准化后趋于正态分布的现象。无论原始随机变量遵循什么分布，只要满足一定的条件（例如，具有相同的均值和方差），当样本量足够大时，这些随机变量的均值的分布将近似于正态分布。

9.傅立叶变换

想象你正在听一首复杂的交响乐，这首曲子由许多不同乐器的声音组成，每种乐器都有其独特的音调。傅立叶变换就像是给你一个工具，让你能够分辨出这首曲子中每种乐器的声音，以及它们各自的音高和强度。通过这个工具，你可以把一首复杂的交响乐分解成各个组成部分，理解它们是如何组合在一起的。

时间域转换为频域

10.连续与可导有什么关系？可导、可微、连续、可积之间的关系

在数学中，连续性、可导性、可微性和可积性是函数的几种重要性质。它们之间存在一定的联系和区别。下面我会用通俗易懂的语言来解释它们之间的关系。

·连续性：如果一个函数在某点的极限值等于函数值，那么我们就说这个函数在该点是连续的。连续性是最基本的要求，它保证了函数值没有突变。

·可导性：如果一个函数在某点的导数存在，那么我们就说这个函数在该点是可导的。导数描述了函数在某点的局部变化率，比如速度或斜率。

·可微性：对于一元函数来说，可微性与可导性是等价的。但在多元函数（比如二元函数）中，可微性意味着函数在某点的偏导数存在，并且可以用这些偏导数来近似函数的变化。如果一个二元函数在某点可微，那么它在该点一定连续。

·可积性：如果一个函数在某区间上的积分存在，那么我们就说这个函数在该区间上是可积的。可积性描述了函数在某个区间上累积变化的能力。

它们之间的关系可以总结如下：

·可导性 ⇒ 连续性：如果一个函数在某点可导，那么它在该点也一定是连续的。因为导数的存在意味着函数在该点附近没有突变。

·连续性 ⇐ 可导性：如果一个函数在某点连续，它不一定可导。比如，绝对值函数在x=0 处是连续的，但不连续可导。

·可微性 ⇒ 连续性：对于多元函数，如果一个函数在某点可微，那么它在该点一定连续。

·可积性与连续性和可导性没有直接的等价关系。一个函数可能在某区间上可积，但不一定连续或可导。然而，如果一个函数在某个区间上连续，那么它在该区间上通常是可积的。

简而言之，这些性质描述了函数的不同方面：连续性关注函数值的稳定性，可导性关注局部变化率，可微性（对于多元函数）关注局部变化的近似，可积性关注函数在某个区间上的累积变化。

11.离散数学学的是什么？何为幂集和集合？

离散数学学习的内容有集合论、代数系统、图论、数理逻辑等。

由离散个体构成的整体的称为集合，称这些个体为集合的元素。集合元素的性质：无序性、相异性、确定性、任意性。集合的全体子集构成的集合叫做幂集。

离散数学（Discrete Mathematics）
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象，即那些可以单独计数或列举的对象。它与连续数学（如微积分）形成对比，后者处理的是连续变化的量。离散数学在计算机科学、电子工程、组合优化和其他领域有着广泛的应用。

学习内容：

集合论：研究集合及其运算，是数学的基础。
代数系统：包括群、环、域等代数结构，它们在密码学和编码理论中有应用。
图论：研究图的结构和性质，应用于网络分析、调度问题等。
数理逻辑：包括命题逻辑和谓词逻辑，是形式化推理的基础。
组合数学：研究计数和排列组合问题。
数论：研究整数及其性质。
概率论：虽然通常被视为连续数学的一部分，但其在离散事件的分析中也有重要应用。
集合（Set）
集合是由不同元素构成的整体，这些元素可以是任何事物，包括数字、字母、人、物体等。集合中的元素具有以下性质：

无序性：元素的顺序不影响集合的确定性。
相异性：集合中不包含重复元素。
确定性：对于任何元素，可以明确判断它是否属于某个集合。
任意性：集合可以包含任何类型的元素，不受限制。
幂集（Power Set）
幂集是给定集合的所有子集的集合，包括空集和集合本身。如果一个集合A有n个元素，那么它的幂集将有2^n个子集，因为每个元素都有两种可能性：要么在子集中，要么不在。

12.笛卡尔积、二元关系及其表示

设A,B为两个集合，用A中元素作为第一元素，B中元素为第二元素都成有序对。所有这样的有序对组成的集合为A和B的笛卡尔积。

如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作R。常用集合表达式，关系矩阵，关系图等表示二元关系。

13.自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性

自反性（Reflexivity）
定义：在一个集合A上的关系R是自反的，如果集合中的每个元素都与自身有关系，即对于所有
a∈A，都有aRa。

例子：考虑一个班级的学生集合，关系是“至少和自己是同班同学”。这个关系是自反的，因为每个学生至少和自己同班。

反自反性（Irreflexivity）
定义：在一个集合A上的关系R是反自反的，如果集合中的元素与自身没有关系，即对于所有a∈A，都没有aRa。

例子：考虑一个集合是所有单身人士，关系是“已婚”。这个关系是反自反的，因为单身的人不能与自己有“已婚”的关系。

对称性（Symmetry）
定义：在一个集合A上的关系R是对称的，如果对于所有a和b，如果aRb，则bRa。

例子：考虑一个集合是所有人，关系是“是朋友”。如果张三是李四的朋友，那么李四也是张三的朋友，这个关系是对称的。

反对称性（Antisymmetry）
定义：在一个集合A上的偏序关系R是反对称的，如果对于所有a和b，如果aRb和bRa，则a和b是相同的元素。

例子：考虑一个集合是所有整数，关系是“不大于”。如果一个整数a不大于另一个整数b，并且b不大于a，那么a和b相等，这个关系是反对称的。

传递性（Transitivity）
定义：在一个集合A上的关系R是传递的，如果对于所有a、b和c，如果aRb和bRc，则aRc。

例子：考虑一个集合是所有国家，关系是“比...大”。如果中国比日本大，日本比韩国大，那么中国也比韩国大，这个关系是传递的。

14.关系的闭包及求闭包的方法

关系的闭包（Closure of a Relation）
抽象讲解：
关系的闭包是指通过应用关系的性质，从原始关系中推导出的所有可能的关系对组成的集合。闭包确保了关系满足特定的性质，如自反性、对称性和传递性。一个关系的闭包可以是自反闭包、对称闭包或传递闭包，具体取决于应用了哪些性质。

求闭包的过程通常使用以下方法：

直接构造：手动添加所有满足性质的关系对。
Warshall算法：一种系统化的方法，通过迭代矩阵来计算关系的闭包。
Floyd-Warshall算法：另一种迭代方法，用于计算加权图中所有顶点对的最短路径，也可以用来求闭包。
通俗易懂：
想象你有一个社交网络，其中的关系表示人们是否是朋友。闭包就像是你扩展这个社交网络的过程，确保网络满足一些规则。

自反闭包：每个人都认为自己是“朋友”，即使没有人说他们是朋友。
对称闭包：如果张三认为李四是朋友，那么自动认为李四也认为张三是朋友。
传递闭包：如果张三认为李四是朋友，李四认为王五是朋友，那么自动认为张三也认为王五是朋友。
求闭包就像是你更新社交网络，确保所有这些“朋友”关系都符合上述规则。

（1）唯一的，包含R的最小的自反（对称，传递）关系；

（2）若R是自反（对称，传递）的，则是R本身；

（3）若R不是自反（对称，传递）的，补上最少序偶使之自反（对称，传递）。

用关系图求闭包：

检查R的关系图，哪一个结点没有环就加上一个环，得到自反闭包；

如果将R的关系图中的单向边全部改成双向边，其他都不变，得到对称闭包；

依次检查R的关系图的每个结点x，把从x出发的长度不超过n的所有路径的终点找到，如果x到这样的终点没有边，就加上一条边，得到传递闭包。

15.等价关系、偏序关系、偏序集

等价关系（Equivalence Relation）

抽象讲解： 等价关系是一种特殊的二元关系，它必须满足以下三个条件：

等价关系将集合划分成不相交的子集，称为等价类。

具体讲解：
想象一个学校里的学生被分成不同的组，每组学生穿着相同颜色的T恤。如果一个学生可以与穿着相同颜色T恤的学生互换位置而不影响整体排列，那么这些学生之间就存在等价关系。每个颜色的T恤代表一个等价类。

偏序关系（Partial Order Relation）
抽象讲解：
偏序关系是一种二元关系，它满足以下条件：

偏序关系不一定满足全序的条件，即集合中的任意两个元素都可比较。

具体讲解：
考虑一个图书馆的书籍按照主题分类，如果一本书的主题是另一个更广泛主题的一部分，我们可以说这本书在这个偏序关系中“小于等于”另一本书。例如，如果一本书是关于“计算机科学”的，而另一本书是关于“人工智能”的，后者可以视为前者的一个子集，因此在这个关系下“小于等于”前者。

偏序集（Partially Ordered Set, POSET）
抽象讲解：
偏序集是一个集合，配合一个偏序关系。在偏序集中，元素之间存在一种顺序，但不是所有元素都可相互比较。

具体讲解：
想象一个公司员工的组织结构图，每个员工根据职位高低排列。在这个结构中，每个员工都知道自己相对于直接上级和下级的位置，但并非所有员工之间都有直接的上下级关系，比如两个不同部门的员工可能就没有直接的比较关系。这个组织结构就可以看作一个偏序集。

总结：
等价关系、偏序关系和偏序集是描述集合中元素之间不同类型关系的数学工具。等价关系强调元素之间的等同性，形成等价类；偏序关系强调元素之间的顺序性，但不要求所有元素都可比较；偏序集则是这些关系的集合表现形式。这些概念在计算机科学、数学和社会科学中都有广泛应用。

·设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的，对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。

举例：无向图的连通关系是等价关系。

·设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的，反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系。

举例：实数集上的小于等于关系。

·偏序集：一个集合A和A上的偏序关系R一起被称作偏序集，记作<A,R>

对于有穷的偏序集<A,≤>可以用哈斯图来描述，实际上哈斯图是简化的关系图，在哈斯图中每个结点表示A中的一个元素，结点位置按他们在偏序中的次序从底向上排列。如果y盖住x，则在x和y之间连一条线。

16.什么是欧拉图？如何判断无向图和有向图是否存在欧拉回路（通路）？

欧拉图（Eulerian Graph）
抽象讲解：
欧拉图是一类特殊的图，它允许存在一条欧拉回路（Eulerian circuit）或欧拉通路（Eulerian path）。欧拉回路是一条经过图中每条边恰好一次的闭合路径，而欧拉通路则是一条经过图中每条边恰好一次的非闭合路径。如果一个图包含欧拉回路，它被称为欧拉图。

判断无向图是否存在欧拉回路的条件：

图是连通的，即任意两个顶点之间都存在路径相连。
每个顶点的度（与顶点相连的边的数量）都是偶数。
判断有向图是否存在欧拉回路的条件：

图是强连通的，即任意两个顶点之间都存在有向路径相连。
图中每个顶点的入度和出度相等。
通俗易懂：
想象你有一个由街道组成的城市网络，每条街道是图中的一条边，每个交叉口或终点是图中的一个顶点。欧拉回路就像是一条完美的行车路线，你可以从某个交叉口出发，经过每条街道恰好一次，最后又回到出发点。对于有向图，这就像是一条完美的行车路线，每条街道都恰好经过一次，且每个交叉口进出的车辆数相同。

判断无向图是否存在欧拉回路的方法：
检查连通性：确保从图中任意一个顶点出发都能到达其他所有顶点。
检查度数：计算每个顶点的度数，确保所有顶点的度数都是偶数。
判断有向图是否存在欧拉回路的方法：
检查强连通性：确保任意两个顶点之间都存在一条有向路径。
检查度相等：确保每个顶点的入度和出度相等。
举例说明：
无向图例子：
假设有一个图包含4个顶点和4条边，顶点连接如下：

顶点A连接到B和C。
顶点B连接到A和D。
顶点C连接到A和D。
顶点D连接到B和C。
这个图是连通的，所有顶点的度数都是2（偶数），所以存在欧拉回路。

有向图例子：
假设有一个图包含3个顶点和3条有向边，顶点连接如下：

顶点1指向2。
顶点2指向3。
顶点3指向1。
这个图是强连通的，每个顶点的入度和出度都是1，相等，所以存在欧拉回路。

·经过图中每条边一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路（通路），成为欧拉回路（通路），存在欧拉回路的图，称为欧拉图。

·判断准则

（1）无向图G有欧拉回路当且仅当G是连通图且无奇度顶点；有欧拉通路但无欧拉回路，当且仅当G是连通图且恰好有两个奇度顶点，这两个顶点是欧拉通路的端点。

（2）有向图D有欧拉通路当且仅当D是连通的且每个顶点的入度等于出度；有欧拉通路但无欧拉回路，当且仅当D是连通的，且除了这两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个顶点，一个顶点的入度比出度大1，作为终点，另一个出度比入度大1，为始点。

17.哈密顿图与平面图

哈密顿图（Hamiltonian Graph）
抽象讲解：
哈密顿图是一类特殊的图，它包含一条哈密顿回路（Hamiltonian circuit）或哈密顿路径（Hamiltonian path）。哈密顿回路是一条经过图中每个顶点恰好一次且起点和终点相同的闭合路径，而哈密顿路径则是一条经过图中每个顶点恰好一次但不要求起点和终点相同的非闭合路径。如果一个图包含哈密顿回路或路径，它就被称为哈密顿图。

判断方法：
判断一个图是否是哈密顿图通常是非常困难的，因为这是一个NP完全问题。没有已知的多项式时间算法可以解决这个问题。通常需要使用启发式或近似算法来寻找哈密顿回路或路径。

平面图（Planar Graph）
抽象讲解：
平面图是可以在平面上画出来的图，使得图中的任意两条边都不相交，只允许在顶点处相连。如果一个图可以画成平面图，那么它就是一个平面图；否则，它就是非平面图。平面图的一个重要特性是它遵守欧拉公式：