面试经典算法150题系列-除自身以外数组的乘积

除自身以外数组的乘积

给你一个整数数组 nums，返回数组 answer ，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。

题目数据保证数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。

请 不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4]输出: [24,12,8,6]

示例 2:

输入: nums = [-1,1,0,-3,3]
输出: [0,0,9,0,0]

实现思路：

这个问题可以通过预先计算数组的前缀和后缀乘积来解决。由于不能使用除法，我们可以创建两个数组，一个用于存储每个元素之前所有元素的乘积（前缀乘积），另一个用于存储每个元素之后所有元素的乘积（后缀乘积）。然后，对于数组中的每个元素，我们可以将其对应的前缀乘积和后缀乘积相乘，得到除了该元素之外其他所有元素的乘积（不知道前缀乘积和后缀乘积的朋友别害怕，后面有补充）。

实现代码：

java">    // 这是一个公共方法，用于返回一个新数组，其中每个元素// 是原数组中除了该元素之外其他所有元素的乘积。public  int[] productExceptSelf(int[] nums) {// 获取输入数组的长度。int length = nums.length;// 初始化一个长度与输入数组相同的答案数组，初始值设为1。int[] answer = new int[length];// 初始化前缀乘积数组，所有元素初始值设为1。int[] prefix = new int[length];// 初始化后缀乘积数组，所有元素初始值也设为1。int[] suffix = new int[length];// 计算前缀乘积数组。// 从第二个元素开始，每个元素是前一个元素与当前元素的乘积。prefix[0] = 1;for (int i = 1; i < length; i++) {prefix[i] = prefix[i - 1] * nums[i - 1];}// 计算后缀乘积数组。// 从最后一个元素开始，每个元素是后一个元素与当前元素的乘积。suffix[length - 1] = 1;for (int i = length - 2; i >= 0; i--) {suffix[i] = suffix[i + 1] * nums[i + 1];}// 计算答案数组。// 对于每个索引i，答案数组的元素是前缀数组的元素与后缀数组的元素的乘积。for (int i = 0; i < length; i++) {answer[i] = prefix[i] * suffix[i];}// 返回计算好的答案数组。return answer;}}

好的，让我们通过一个具体的例子来演绎上述Java代码的执行过程。假设我们有以下输入数组：

int[] nums = {1, 2, 3, 4};

下面是代码执行的步骤：

初始化数组：
- answer、prefix 和 suffix 数组都被初始化为长度与 nums 相同的数组，所有元素初始值为1。
计算前缀乘积 (prefix 数组)：
- 从索引1开始（因为索引0已经初始化为1），每个元素是前一个元素与 nums 中相应元素的乘积。
```
            prefix[0] = 1,prefix[1]=prefix[0] * nums[0]=1 * 1= 1, prefix[2]=prefix[1] * nums[1]=1 * 2= 2,prefix[3]=prefix[2]  * nums[2]=2 * 3=6
```
- 执行完循环后，prefix 数组为：[1, 1, 2, 6]
计算后缀乘积 (suffix 数组)：
- 从索引 length - 2 开始逆序遍历（因为索引 length - 1 已经初始化为1），每个元素是后一个元素与 nums 中相应元素的乘积。
```
suffix[3]=1,
suffix[2]=suffix[3]*nums[3] = 1 *4 =4，
suffix[1]=suffix[2]*nums[2] = 4 *3 =12，
suffix[0]=suffix[1]*nums[1] = 12 *2 =24
```
- 执行完循环后，suffix 数组为：[24, 12, 4, 1]。
计算答案数组 (answer 数组)：
- 对于 nums 中的每个元素，answer 数组的元素是 prefix 数组与 suffix 数组对应元素的乘积。
- 以 nums[1] 为例，prefix[1] 是 1（因为 nums[0] 是1），suffix[1] 是 12，所以 answer[1] 是 1 * 12 = 12。
- 执行完循环后，answer 数组为：[24, 12, 8, 6]。
返回结果：
answer 数组包含了输入数组 nums 中每个元素对应的乘积，不包含它们自己。

通过这个演绎过程，你们熟悉了吗？这个方法在O(n)时间复杂度内解决了问题，并且只使用了O(n)的额外空间。

知识补充：前缀数组（前缀乘积）与后缀数组（后缀乘积）

前缀数组和后缀数组的原理基于累积乘积的概念，它们用于快速计算数组中元素的连续子集的乘积。下面是这两个概念的详细解释：

前缀数组（Prefix Array）

前缀数组是一个与原数组等长的数组，其中第 i 个元素包含从数组开始到第 i-1 个元素的乘积（如果存在的话）。换句话说，前缀数组的第 i 个元素是原数组从索引 0 到 i-1 的所有元素的乘积。

例如：假设有一个数组 nums = [a1, a2, a3, ..., an]，前缀数组 prefix 将是这样的：

prefix[0] = 1（因为没有元素乘以 a1）
prefix[1] = a1
prefix[2] = a1 * a2
...
prefix[i] = a1 * a2 * ... * ai-1

后缀数组（Suffix Array）

与前缀数组相对应，后缀数组包含从数组末尾开始到第 i+1 个元素的乘积。后缀数组的第 i 个元素是原数组从索引 i+1 到末尾的所有元素的乘积。

例如：对于相同的数组 nums = [a1, a2, a3, ..., an]，后缀数组 suffix 将是这样的：

suffix[n-1] = 1（因为没有元素乘以 an）
suffix[n-2] = an
suffix[n-3] = an * an-1
...
suffix[i] = an * an-1 * ... * ai+1

原理

前缀和后缀数组的原理基于这样一个事实：对于数组中的任意元素 nums[i]，要计算除了 nums[i] 之外所有元素的乘积，可以将其前缀乘积（到 i-1 的乘积）和后缀乘积（从 i+1 到末尾的乘积）相乘。这样，nums[i] 项就不会出现在乘积中，因为它既不会被前缀也不会被后缀数组包含。

计算示例：假设 nums = [3, 2, 4]，我们有：